We present a transform-free distribution of the steady-state queue length for the continuous-time $GI^X$/G/3 queue under exhaustive FIFO service discipline. We analyze this queueing model with an unconventional method called the $\It{Modified Supplementary Variable Technique}$. The results we obtain are expressed in terms of conditional expectations of the remaining inter-arrival time and the remaining service time, conditional on the queue length at the departure points and the arrival points, respectively. In order to apply this approach, we define a Markov process by including appropriate supplementary variables into the state vector, setup the system equations, supplement some variates and integrate them over supplementary variates.
우리는 선입선출법의 서비스 정책을 따르는 연속시간 $GI^X$/G/3 대기행렬의 안정상태 고객수 분포 방정식을 제시하겠다. 우리는 이 대기행렬 모델을 수정부가변수법이라 불리우는 새로운 방법을 통해 분석하였다. 우리가 얻은 결과는 고객의 이탈 시점과 고객집단의 도착 시점에서의 잔여 서비스 시간과 잔여 도착간격과 같은 조건부 기대치로 각각 표현되었다. 이 접근방법을 적용하기 위해서, 우리는 상태벡터에 적절한 부가변수를 포함시켜 마코프 과정을 정의하였고, 그 마코프 과정을 바탕으로 시스템 방정식을 세웠다. 우리가 세운 시스템 방정식을 안정상태의 미분방정식으로 변환시킨 뒤 각각의 부가변수를 곱해 이를 직접 적분하여 방정식을 얻는다. 연속시간 대기행렬을 분석하는 여러 가지 방법 중에 수정부가변수법(modified supplementary variable technique)이 있다[3]. 본 논문에서는 수정부가변수법을 사용하여 연속시간 $GI^X$/G/3 대기행렬의 고객수 분포를 구한다.
연속시간 $GI^X$/G/3 대기행렬에서 t시점의 고객수를 N(t)라 하고, t시점의 잔여도착간격(Remaining interarrival time)을 AR(t)라 하자. 그리고 인 경우에, t 시점에 진행중인 서비스의 잔여시간(Remaining service time)을 라 하자. 주 관심사는 또는 이다. 그런데 은 마코프 과정(Markov process)이 아니므로 분석이 어렵다. 하지만 와 를 부가변수(supplementary variable)로 추가하면 은 마코프과정이 된다. 따라서 (t+dt)시점의 상태에 대한 확률만 가지고 표현할 수 있는데, 이를 시스템 방정식이라 부른다[1].
