Natural frequencies and mode shapes are the most important physical properties of free vibration. In the literature, most problems of structural vibration have been formulated to adjust frequency spectrum for example to maximize the first natural frequency. However, in musical instruments like a violin, mode shapes are also important, because these are related to sound quality while natural frequencies to octave. In case of a violin top plate, a quality factor is predicted by the shape of several nodal lines, which represents the natural mode shapes.
Among the little literature on optimization of mode shapes, a typical one was about optimization of nodal point location for vibration reduction of a beam structure and another about shape optimization to match a prescribed mode shape. However nodal line optimization required in the study of a violin plate is not yet considered. In this thesis, the idea to control the shape of nodal lines is suggested and then applied to a violin top plate.
The formulation proposed is to minimize the square sum of displacements of some selected nodes located along the target nodal lines. A violin top plate was modeled using shell finite elements. The design variables are the thicknesses of finite elements. A preliminary study of eigenvector and eigenvalue sensitivities has been made for plate problems and compared well with finite differencing. The methods include approximate eigenvector sensitivities by linear combination of eigenvectors and Ritz vectors, and adjoint methods. The adjoint method used requires only the eigenvalue and eigenvector for the mode being differentiated. The two methods are tested and the better one is selected to optimize the violin top plate.
A coarse model and a fine model of the violin top plate were used for optimization. The refined one has more elements than design variables. This model has shown better match with the target shapes of nodal lines. The study includes mode shape optimization of the second, or the fifth, and also both the second and the fifth at the same time. The sensitivities and trend of the thickness obtained can be useful for trimming the top plate when manufacturing.
자유 진동에서 고유진동수와 모드형상은 가장 중요한 물리적인 성질이다. 대부분의 공학적인 진동 문제에 관련된 논문은 주로 주파수 스펙트럼의 조정에 대해서 다루고 있다. 이러한 주파수 스펙트럼을 조정하는 가장 대표적인 예로서 첫 번째 고유진동수의 최대화가 있다. 그러나 바이올린과 같은 악기의 경우에는 고유진동수뿐만 아니라 모드형상 또한 중요하다. 그 이유는 고유진동수는 음의 높낮이에 관련이 되어 있다면 모드형상은 음의 질에 관련이 되어 있기 때문이다. 바이올린의 상판의 경우에는 모드형상을 간단하게 나타내는 몇 가지 마디선의 형상을 통해서 그 품질인자를 알 수 있다. 모드형상의 최적화에 대해서는 기존에 몇 가지 연구가 있다. 그 한가지는 보 구조의 노달포인트의 위치를 최적화 하여 진동을 줄이는 것이다. 그리고 다른 연구로는 원하는 모드형상을 목표로 하여 최적화를 하는 것이 있다. 바이올린의 상판의 같은 경우는 모드형상 전체를 알 수 없으므로 원하는 마디선을 목표로 하여 연구를 하여야 한다. 그러나 아직까지 마디선의 형상에 대한 최적화는 고려되고 있지 않다. 본 논문에서는 이러한 마디선의 형상을 조절하는 방법에 대해서 제안을 하고, 바이올린의 상판에 적용을 하여 보았다. 기본적인 마디선의 형상의 조절에 대한 수식화는 목표로 하는 마디선의 위에 위치한 절점의 변위에 대하여 제곱의 합을 최소화 하는 것이다. 이 방법을 적용하기 위한 바이올린의 상판은 쉘요소를 사용하여 모델링을 하였다. 바이올린 상판의 적용에서의 설계 변수는 각 요소의 두께이다. 이 방법을 풀기 위해서 적용하는 고유벡터와 고유치의 민감도는 이미 많은 연구가 되어있다. 특히 고유벡터의 민감도를 구하는 방법은 여러 가지 방법이 있다. 대표적으로 고유벡터의 민감도를 고유벡터와 리츠벡터의 선형조합으로 근사 하는 방법과 수반행렬변수를 이용한 수반행렬방법이 있다. 수반행렬방법에서는 구하고자 하는 모드의 고유치와 고유벡터만을 이용하여 고유벡터의 민감도를 계산한다. 이 두 가지 방법을 바이올린의 상판에 대하여 적용을 해 본 후 더 좋은 방법을 이용하여 바이올린 상판의 마디선의 형상을 최적화 하였다. 바이올린 상판의 최적화는 요소의 수가 많은 유한요소 모델과 요소의 수가 적은 유한요소 모델을 사용하였다. 요소의 수가 많은 유한요소 모델은 더 많은 수의 설계 변수를 가지고 있다. 이 모델의 경우 목표로 하는 마디선의 형상에 더 잘 맞게 최적화가 되었다. 본 연구에서는 바이올린 상판의 중요한 모드 중에서 두 번째와 다섯 번째 모드를 각각 그리고 함께 최적화 하였다. 이 연구에서 수행하여 얻은 바이올린 상판의 마디선에 대한 민감도와 두께의 경향은 바이올린의 상판의 제작 시에 매우 유용할 것이다.
