The main topic of classical knot theory is the classification of knots and links with equivalence. In this thesis we classify knots by arc index. Every knot can be embedded in the union of finitely many half planes with a common boundary line in such a way that the portion of the knot in each half plane is a properly embedded arc. The minimal number of such half planes is called the arc index of the knot. We introduce the methods that the author obtained the list of prime knots with arc index up to 11. By using computers, we obtained 663,341 Cromwell matrices and converted to dowker codes. First we obtained lists of prime knots with crossing number up to 16. Next we investigate all computable invariants of prime knots with 17-24 crossings and we use a knotplot program to distinguish them.
Also we prove that the arc index of a nonsplit non-alternating prime knot is not bigger than the crossing number.
매듭이론의 역사에서 매듭의 분류는 중요한 연구과제 중 하나이다. 본 논문에서는 호지수를 이용하여 매듭을 분류하는 방법을 소개하고 엇갈림수와의 관계를 살펴본다. 먼저 매듭이란 원의 3차원공간으로의 사상이며 두 매듭이 같다는 것은 그 정사영한 그림이 Reidemeister 변환으로 같아짐을 의미한다. 한편 임의의 매듭은 한 축을 중심으로 유한개의 반평면이 붙어있는 영역에 하나의 반평면당 한개의 호를 넣는 표현을 생각할 수 있는데 이것을 호표현이라고 하며 이 때 이러한 호의 최소 개수를 호지수라고 한다. Cromwell에 의해 임의의 매듭은 호표현을 갖는다는 사실이 증명되어 있으며 호지수 10까지의 매듭은 이미 선행연구를 통해 알려져있다. 이 논문에서는 호지수 11까지의 매듭의 목록을 작성하기 위해 컴퓨터를 이용하여 663,341개의 크롬웰행렬을 생성하고 다시 이를 다우커코드로 변환하는 작업을 하는 것으로 시작한다.
그 후 KNOTSCAPE를 이용하여 16이하의 엇갈림수를 갖는 목록을 작성하고 17이상의 엇갈림수를 갖는 매듭에 대해서는 KNOTSCAPE에 목록을 가지고 있지 않아 별도로 각종 불변량을 비교하고 KNOTPLOT을 이용하여 서로 다른 매듭을 분류하는데 성공하였다.
한편 교대매듭의 호지수는 엇갈림수보다 두 개 더 많다는 사실이 알려져 있다. 한편 비교대매듭에 대해서는 엇갈림수보다 한 개 더 많은 경우가 생기지 않음을 알 수 있는데 이에 대한 부분적인 결과는 이미 Beltrami등에 의해 알려져 있다. 본 논문에서는 매듭의 비교대영역의 개수가 적어도 4개 이상임을 착안하여 보다 일반적으로 비교대 기약매듭의 호지수가 엇갈림수보다 작거나 같다는 사실을 증명하였다.
