In this dissertation, the queues with general arrival and vacations are considered. In this model, the server takes a vacation as soon as the system becomes empty. If there is no customer when the server returns from the vacation, he takes another vacation. He keeps taking a vacation until he finds at least one customer on return from a vacation. And vacation times are independent and identically distributed (i.i.d.) exponential random variables. So these queueing systems use the memoryless property of the exponential distribution. The transform of the joint distribution of the length of a busy period, the number of customers served during the busy period, and the residual interarrival time at the instant the busy period ends is derived using Takacs’s approach. It means that the n-policy GI/M/1/MEV queue to get the performance measures for the GI/M/1/MEV queue is dealt with.
Also, the discrete-time queueing system is considered. In recent years, there has been a growing interest in the analysis of discrete-time queueing system due to their applications to a variety of slotted digital communication systems and other related areas. However, the studies for the discrete-time queueing system has been not seen relatively less. In the discrete-time queueing system, there are two different models, late arrival system with delayed access (LAS-DA) and early arrival system (EAS). Also one assumption is necessary to analyze the busy period. That is, if a new customer arrives the system when the last customer in it departures, the busy period does not end but it continues with one customer in the LAS model. The LAS model is assumed in this dissertation. The joint probability generating function of the length of a busy period, the number of customers served during the busy period, and the residual interarrival time at the instant the busy period ends is derived using the Takacs’s approach, same as the continuous-time GI/M/1/MEV queue.
The results in this dissertation can be used for a variety of real models. One is to find an optimal threshold N. The total of setup cost and holding cost can change variously dependent on the size of the threshold. To get them, the busy period of the n-policy queue and the number of customers served during the busy period are needed.
대기행렬 시스템은 크게 세 가지의 구성요소를 정의함으로써 묘사할 수 있다. 세 가지는 바로 고객의 도착과정과 서버의 서비스과정 그리고 서버의 개수를 포함한 시스템 내의 정책이다. 대기이론의 중요성이 널리 알려지고 많은 연구가 이루어진 가운데, 기존의 연구 대부분은 고객의 도착과정을 포아송과정으로 가정한 대기행렬모형 (M/G/1) 의 분석이 주를 이루었다. 이는 무한한 고객들의 독립적인 도착과정을 잘 묘사할 수 있기도 하지만, 지수분포의 무기억속성에 의해 구하고자 하는 성능치들을 더 잘 구할 수 있음에도 큰 이유가 있을 것이다. 이에 본 논문에서는 상대적으로 어렵다고 알려진 일반도착을 갖는 대기행렬모형 (GI/M/1) 에 대한 분석을 시도한다. 일반도착을 갖는 대기행렬모형의 경우, 최근에 관련 논문들이 나오고 있으나 아직 포아송분포의 도착을 가정하는 대기행렬모형에 비해 많이 부족한 실정이다.
서버가 어떤 특정한 이유로 인하여 시스템 내에 고객이 존재함에도 불구하고 서비스를 제공하지 않는 시스템을 휴가형 대기행렬시스템이라고 한다. 이에는 크게 복수휴가형 대기행렬시스템과 단수휴가형 대기행렬시스템이 존재하는데, 이는 서버가 휴가를 떠나는 횟수에 따라 나눌 수 있다. 복수휴가형 대기행렬시스템은 반복적으로 휴가를 떠나는데 즉, 휴가에서 돌아왔을 때 한 명 이상의 고객이 있으면 서비스를 시작하고 고객이 없으면 즉시 휴가를 떠나는 시스템을 말한다. 반면에 단수휴가시스템은 서버가 단 한 번의 휴가를 떠나며, 휴가에서 돌아온 후 설령 고객이 없더라도 시스템 내에서 고객이 도착하기만을 기다린다. 휴가기간의 과정은 보통 일반분포를 가정하나 시스템의 복잡성으로 인해 지수분포로 가정하기도 한다. 본 논문에서는 휴가과정을 지수분포로 갖는 복수휴가형 대기행렬시스템에 대해 다룬다.
바쁜기간이란 유휴했던 서버가 바쁘기 시작해서 다시 유휴해질 때까지의 기간을 말한다. 다시 말하면, 바쁜기간은 결국 ‘한 명의 서비스로 시작하여 그의 자손 (off-spring) 들을 모두 서비스하는 데 걸리는 시간’이다. 이러한 개념을 이용하여 도착과정을 포아송과정으로 가정한 대기행렬모형 (M/G/1) 에 대한 바쁜기간 분석은 그 동안 잘 알려져 왔다. 하지만 고객들의 도착간 간격을 일반분포로 가정한 대기행렬모형 (GI/M/1) 에 대하여는 그 복잡성으로 인하여 명확한 결과가 거의 알려지지 않았다. 바쁜기간 분석은 시스템의 전체적인 주기를 분석하는데 필수적이며, 이는 최적의 제어정책을 연구하는데 응용할 수 있다.
본 연구는 최근 들어 활발히 연구가 진행중인 고객들의 도착간 간격을 일반분포로 가정하고 고객들의 서비스 시간을 지수 분포로 가정한 대기행렬모형 (GI/M/1) 의 바쁜기간을 분석한다. 아울러, 바쁜기간 동안 서비스 받고 나가는 고객수의 분포와 바쁜기간 종료 시 잔여 도착간시간 또한 분석한다. 본 연구는 그 동안 난제로 여겨졌던 문제를 쉽게 풀어냄과 동시에 다양한 성능척도를 함께 구함에 첫 번째 의의가 있으며, 이러한 연구는 후에 시스템의 전체적인 주기를 분석하여, 최적의 제어정책을 연구하는 데 응용가능성이 크다는 것에 그 두 번째 의의가 있다. 또한 본 연구에서는 컴퓨터 시스템 또는 통신 시스템 등을 분석하는 데 있어서 많은 응용 가능성을 갖는 이산시간 대기행렬시스템에 대한 분석이 이루어진다. 이산시간 대기행렬시스템은 연속시간 대기행렬시스템과 달리 슬롯 (slot) 경계에서 다양한 사건들이 동시에 발생할 수 있기 때문에 더 많은 관찰을 필요로 한다.
본문의 첫 번째 장 (Chapter 2) 에서는 일반도착과정을 갖는 연속시간 대기행렬시스템에서 바쁜기간과 바쁜기간 동안 서비스 받는 고객 수, 그리고 바쁜기간이 끝난 후 잔여 도착간시간 에 관한 결합분포를 유도한다. 그리고 본문의 두 번째 장 (Chapter 3) 에서는 일반도착과정을 갖는 이산시간 대기행렬시스템에서의 다양한 성능척도들을 제안한다. 또한 본문의 마지막 장 (Chapter 4) 에서는 위 모형에 복수휴가가 결합된 모형을 분석한다. 복수휴가는 지수분포의 고유한 특성인 무기억속성을 이용하기 위하여 지수분포를 따른다고 가정한다. 이러한 대기행렬시스템에서 바쁜기간과 바쁜기간 동안 서비스 받는 고객 수, 그리고 바쁜기간이 끝난 후 잔여 도착간시간에 관한 결합 PGF를 유도한다.
