In many engineering fields, the quantitative assessment of the effect of the uncertainty on a response is now widely recognized as an important element, where the uncertainty is inevitable in the real world and it is well known that the input variables such as loads or material properties have a distribution, not a value. A general method for dealing with the uncertainty is to use a safety factor. It is possible to do safe design by using only a safety factor but it is often found that the design based on the safety factor fails. For this reason, the idea of reliability has been introduced to consider the uncertainty more systematically.
There are Monte-Carlo simulation (MCS), first order reliability method (FORM), and a moment method in the typical method for reliability analysis. MCS is the method of calculating the failure of the probability by generating random numbers. It is the most accurate but it has a disadvantage that the number of function evaluations is very large. FORM is the method of using the minimum distance between an origin and a limit state function in the standard normal space, where optimization is required. Although FORM is simple and efficient, there is a disadvantage that the error is influenced by the non-linearity of the limit state function as well as the non-normality of random variables. In addition, there would be numerical instability because of using optimization. A moment method known as the fourth moment method can perform reliability analysis using the first four statistical moments and Pearson system.
Of the methods the moment method has advantages that it does not require optimization and gives probability density functions. However, a major drawback of the moment method lies in the fact that the number of function evaluations increases very fast as the number of random variables increases. Because of the drawback, it is not easy to apply the moment method to practical examples, especially when the number of random variables is large. Considering this point, the objective of this research is first to make the moment method more practical, where disadvantages of the moment method are solved. Then, the moment method is expanded to reliability based design optimization.
For applying the moment method to reliability analysis, numerical integration is required to calculate the statistical moments, where a moment-based quadrature rule can be used for integration nodes and weights. However, the moment-based quadrature rule has to solve a system of linear equations that can be numerically unstable. In this research, an improved moment-based quadrature rule is proposed to lower the instability.
The major drawback of the moment method is much larger, especially when the number of random variables is larger than 10, where it is almost impractical to calculate the first four statistical moments even if a metamodel is constructed. To overcome such a problem, adaptive construction of a kriging metamodel and the method of using dimension reduction integration are proposed. In this process, a new technique of selecting additional sampling points is also proposed. Numerical examples are solved and the results show that the proposed method is efficient and accurate. It can be also applied to reliability problems whose number of random variables is larger than 10.
Reliability based design optimization (RBDO) has been used for considering the uncertainties of design variables and system parameters. The property of RBDO is that it involves reliability analysis, so it is important to select a proper method for reliability analysis. However, previous research on RBDO was mainly based on the first-order reliability method and relatively little attention was paid to a moment-based RBDO. Considering this point, this paper considers difficulties in implementing the moment method into RBDO and they are solved by using a kriging metamodel with an active constraint strategy. Finally, Numerical examples are tested and the results show that the proposed method is efficient and accurate.
많은 공학분야에서 반응에 대한 불확실성의 영향을 평가하는 것은 중요하다고 알려져 왔다. 이때 불확실성은 실제 환경에서 피할 수 없으며, 하중과 재료상수와 같은 변수들은 하나의 값을 갖기보다는 분포를 갖는 것으로 알려져 왔다. 불확실성을 다루기 위한 일반적인 방법은 안전계수를 사용하는 것으로 이를 사용함으로써 안정적인 설계가 가능하지만, 종종 파괴가 일어나는 경우도 있다. 이런 이유로 불확실성을 좀더 체계적으로 다루기 위해 신뢰도라는 개념이 도입되어 왔다. 대표적인 신뢰도 해석 방법에는 몬테카를로 모의실험법, 일차신뢰도법, 모멘트법이 있다. 몬테카를로 모의실험법은 난수를 발생시켜 파괴확률을 계산하는 방법으로 매우 정확하지만, 계산량이 많다는 단점을 가지고 있다. 일차신뢰도법은 표준정규분포 공간에서 원점으로부터 한계상태식까지의 최단거리를 사용하여 파괴확률을 계산하는 방법으로 최적화가 요구된다. 비록 일차신뢰도법이 단순하고 효율적이지만, 한계상태식의 비선형성뿐만 아니라 확률변수들의 비정규성이 오차에 영향을 줄 수 있다는 단점을 가지고 있다. 또한, 최적화를 사용하기 때문에 발생할 수 있는 수치적인 불안정성 문제가 있다. 4차 모멘트법으로 알려져 있는 모멘트법은 성능함수의 처음 4개의 통계모멘트와 피어슨 시스템을 이용하여 신뢰도를 계산할 수 있는 방법이다. 이 방법들 중 모멘트법은 최적화를 수반하지 않으며, 확률밀도함수를 구할 수 있다는 장점을 가지고 있다. 그러나 모멘트법의 중요한 단점은 확률변수의 개수가 증가함에 따라 계산량이 매우 빠르게 증가한다는 것이다. 이런 단점 때문에 모멘트법을 확률변수가 많은 실제적인 문제에 적용하기 쉽지 않다. 이런 점을 고려하여 본 연구의 목적은 이런 단점을 해결하여 모멘트법을 좀더 실제적인 문제에 적용 가능하도록 하는 것과 최적화로 확장하는 것이다. 모멘트법을 신뢰도 해석에 적용하기 위해 통계모멘트를 계산해야 하는데, 이 과정에서 적분점과 가중치를 구하기 위해 모멘트 기반 적분법이 사용될 수 있다. 그러나 이 모멘트 기반 적분법은 수치적으로 불안정해질 수 있는 선형시스템을 풀어야 하므로 본 연구에서는 개선된 모멘트 기반 적분법을 제안하여 수치적인 불안정성을 개선하였다. 모멘트법의 중요한 문제점은 확률변수가 10개 이상으로 많아질 경우 근사모델을 사용한다 할지라도 통계모멘트를 계산하는데 시간이 많이 걸린다는 것이다. 이런 문제점을 해결하기 위해 크리깅 근사모델을 적응형으로 구성하면서 차원감소적분법을 사용하는 방법이 제안되며, 이 과정에서 추가적인 실험점을 선택하는 새로운 방법이 제안된다. 다양한 수치예제들을 풀어본 결과 제안된 방법은 효율적이고 정확하며, 확률변수의 개수가 많은 경우에도 쉽게 적용이 가능하였다. 신뢰도 기반 최적설계는 설계변수와 설계 파라미터의 불확실성을 고려하기 위해 사용되어 왔다. 신뢰도 기반 최적설계의 특징은 신뢰도 해석을 포함한다는 것으로 적절한 신뢰도 해석 방법을 선택하는 것이 중요하다. 그러나 이전의 연구들은 주로 일차신뢰도법에 기초한 방법에 집중되어 있었고, 모멘트법에 기초한 신뢰도 기반 최적설계에 대한 연구가 부족한 실정이었다. 이런 점을 고려하여, 본 연구에서는 먼저 모멘트법을 신뢰도 기반 최적설계에 적용할 때 발생할 수 있는 문제점에 대해 고찰하고, 크리깅 근사모델과 활성제한조건전략을 결합한 방법을 제안하여 문제점을 해결하였다. 다양한 수치예제에 대해 평가해본 결과 제안된 방법은 효율적이고 정확하였다.
