We present general procedure of numerical scheme to solve stochastic differential equations by generation of stochastic trajectories. The generation of each sample trajectory is performed by discrete time approximation obtained from stochastic Taylor expansion. This method is readily applicable to dynamical systems driven by arbitrary type of noise, provided there exists a way to describe the accumulated random increment of the noise as a Markov process, and obtain its probability distribution. Using the systematic procedure, we obtain numerical schemes for two important non-Gaussian noises, the dichotomous Markov noise and the Poissonian white shot noise. Analytical expressions of the probability distributions for the random increment of the two different types of the noise are possible for each case. We further propose a simplified weak scheme by replacing the random increment with a simple random variable satisfying the same moment properties up to the required order. This scheme not only reduces the computation time significantly but also easy to develop, since it requires only lower order moments of the random increment of the noise rather than the whole distribution of it. The accuracies and efficiencies of the proposed algorithms are examined by applying the numerical schemes to prototypical model systems that possess analytical solutions. We study formal reduction scheme of a continuous Markov process with two metastable states to a discrete rate process and examine time dependent behavior of the rate in the presence of time dependent external forces or fluctuating barrier heights. Although the weak noise assumption has to be maintained for the rate description, no further assumption is required on the time scale of the external driving force. The derivation of the discrete rate equation is pursued in terms of two state-distributions and two site-localizing functions. These auxiliary functions are constructed as linear combinations of first two Floquet functions of the forward and the backward Fokker-Planck equations. This approach is based on the observation that the transition probability of the underlying process, from which all the information of the process is derived, can be well approximated in the long time limit by using only first two Floquet functions. The rates are expressed in terms of the first nonzero Floquet exponent and two asymptotic values of the first non-constant backward Floquet function. Our formulation not only enables to derive the master equation, but also retrieve the long-time behavior of the underlying continuous process from the knowledge of the discrete process.
확률 동역학계를 연구하는 방법은 크게 다음 두 가지로 구분될 수 있다. 첫째는 시간에 따른 계의 자취를 기술하는 확률 미분방정식인 랑제방 방정식에 부합하도록 계의 표본 경로를 만들어내고 통계적 방법을 이용하는 것이고, 둘째는 계의 확률분포 함수에 관한 편미분 방정식인 포커-플랑크 방정식의 해를 얻어 계의 물리적 성질을 조사하는 것이다. 수치 적분을 통해 계의 표본 경로를 얻는 일반적인 방법론을 제안하였다. 이 방법론은 비(非)가우스 잡음의 영향을 받는 확률미분 방정식에 대해서도 적용될 수 있으며, 구체적 예로 포아송 백색 발사 잡음과 양분된 마코프 잡음에 대한 수치 방법이 제시되었다. 확률론적 테일러 전개를 이용하여, 짧은 시간 간격 후 계의 경로를 알려주는 근사식을 유도하였다. 이 근사식에 포함된 확률 변수는 주어진 시간 간격 동안 잡음의 상태를 적분한 것으로, 이 확률 변수의 확률 분포를 두 가지 잡음에 대해 해석적으로 얻어낼 수 있었다. 따라서 확률 분포에 부합하는 난수를 생성하여 근사식으로부터 새로운 계의 위치를 얻어내는 수치방법을 제안하였다. 계가 두 개의 준안정 상태를 가지고 계에 존재하는 잡음의 강도가 약할 때, 다른 준안정 상태로의 전이는 매우 드물게 일어난다. 이 경우 계의 운동을 기술하는 포커-플랑크 방정식은, 단순히 계가 어떠한 준안정 상태에 있는지를 기술하는 속도식으로 충분히 묘사될 수 있게 된다. 계가 주기적인 외력에 대해 구동되는 경우에도 이러한 묘사는 여전히 가능하다. 외력의 주기가 계의 평균 전이 시간보다 훨씬 빠른 경우에 대해 이러한 묘사를 얻어낼 수 있는 방법론을 제시하였다. 계가 특정 상태에 있을 때 계의 확률 분포를 나타내는 함수와 계의 위상공간을 각각의 준안정 상태로 나누어주는 함수가 도입되었으며, 이 보조 함수들은 포커-플랑크 방정식의 플로케 함수들의 선형 결합으로 결정되었다.
