The singularly perturbed system has two-time scale properties, and we can divide the whole system into the boundary-layer and the reduced model. Analysis and control of the nonlinear system is getting more difficult as the dimension grows. Thus, the merit of the singularly perturbed system is maximized in the nonlinear system. The stability of the singularly perturbed system can be checked through the boundary-layer model and the reduced model. If the boundary-layer model is uniformly exponentially stable and the reduced model is exponentially stable, then the whole system is exponentially stable. Therefore, without finding the Lyapunov function for the whole system, we can check the stability of the whole system. To stabilize the singularly perturbed system, the composite feedback control method is used. In this method, we design a controller to stabilize the reduced model and to stabilize the boundary layer model separately. By combining these two controller, we can stabilize the whole system.
Though the singularly perturbed system has some benefits, it also has some problems. First, uncertainties in the singularly perturbed system make the analysis difficult and in some cases make it impossible. Especially, in the nonlinear system, the uncertainties change the manifold entirely different and possibly make the manifold nonexistent. In this paper, we find conditions such that the manifold exists when uncertainties are added to the nominal singularly perturbed system. We also measure the change of the manifold due to the uncertainties. Using this measured change, we find the conditions that the boundary layer model is uniformly exponentially stable and the reduced model is exponentially stable. Through this procedure, we can find the condition that the whole singularly perturbed system with uncertainties is exponentially stable. Based on this, we propose a robust composite controller design method.
Another problem of the singularly perturbed system is related to the nonstandard model. If a system is not represented as the standard model, we cannot apply the singularly per-turbed system theory. Thus, we should change the nonstandard model to the standard model. In this dissertation, we propose a diffeomorphism and high-gain feedback which change the nonlinear system without two-time scale properties to the standard model. We requires that some part of the original nonlinear system is feedback linearizable but not necessary partially feedback linearizable. Since our requirements are less restrictive than that of feedback linearizable or partially feedback linearizable, we can apply our method to the wider range of the nonlinear systems. Through examples, we show that our method works well and easy to apply to the nonlinear system.
The feedback linearization method is one of the widely used method to control the nonlinear system. However, it requires to know the exact model of the system. Since it is hard to know the exact value of the perturbation parameter $\epsilon$, applying the feedback linearization method to the nonlinear singularly perturbed system is difficult. To solve this problem, we suggest an $\epsilon$-independent feedback linearization. By choosing a proper diffeomorphism, we can linearize the reduced model using the manifold. We also linearize the boundary-layer model through the control input. Since the control input do not directly linearize the reduced model, we can apply our diffeomorphism to the system whose slow and fast dynamics are not separate. In addition, by making the reduced model Hurwitz and making the boundary-layer model uniformly Hurwitz, we can achieve the exponential stability of the original system.
Based on this $\epsilon$-independent feedback linearization, we propose a high-gain observer for the nonlinear singularly perturbed system. Though the high-gain observer has a merit that the separation principle holds, it is applicable only to the input-output linearizable system. We show that if the proposed diffeomorphism is used and some conditions are satisfied then we can overcome restriction.
DC모터의 인덕턴스처럼 작은 값의 상수를 가지고 있는 시스템에서, 이 상수와 관련된 변수들은 짧은 시간에 빨리 움직인다. 반면에 이와 무관한 변수들은 오랫동안 천천히 움직인다. 이러한 시스템들을 특이섭동시스템이라고 부른다. 특이섭동시스템의 장점은, 전체 시스템을 두 개의 작은 시스템으로 나누어 해석할 수 있다는데 있다. 특이섭동시스템과 관련해서는 많은 연구가 이루어졌지만, 대부분 선형 시스템을 대상으로 하고 있다. 이에 본 논문에서는 좀 더 일반적인 비선형 특이섭동시스템에 대해서 연구해보았다. 선형 특이섭동시스템에 비해서, 비선형 특이섭동시스템은 모델링 오차나 잡음 등으로 인한 불확실성에 더욱 큰 영향을 받는다. 경우에 따라서는, 불확실성이 전체 시스템을 두 개로 나누어서 해석하는 것을 불가능하게 만들 수도 있다. 본 논문에서는, 불확실성이 특정한 크기 이하일 때에는 특이섭동시스템의 특성을 해치지 않는다는 것을 보였다. 그리고, 찾아낸 불확실성의 크기의 한계 값을 이용하여, 불확실성에도 불구하고 시스템을 안정화시킬 수 있는 강인제어기의 설계 방법을 제안하였다. 아울러, 비선형 시스템의 대표적인 제어기법인 궤환 선형화 기법과 특이섭동시스템의 특성을 접목시켜서 새로운 제어기법을 제안하였다. 미분동형사상을 이용하여 비선형 시스템을 선형 시스템으로 바꾸는 궤환 선형화 기법은 선형 제어 이론을 그대로 사용할 수 있다는 장점이 있다. 하지만 시스템이 복잡해질수록 적절한 미분동형사상을 찾기 힘들다는 단점이 있다. 본 논문에서는 특이섭동시스템 이론을 이용하여, 비선형 시스템을 두 개의 작은 시스템으로 나누고, 각각의 시스템에 대해서 미분동형사상을 찾아내는 방법을 연구하였다. 또한, 높은 값의 궤환을 이용하여, 일반적인 비선형 시스템을 특이섭동시스템으로 변환하는 방법도 연구하였다. 높은 이득 K의 궤환을 시스템에 넣어주면, 궤환의 이득의 역수 1/K가 매우 작기 때문에, 원래 시스템을 특이섭동시스템으로 바꿀 수 있다. 또한, 궤환선형화기법을 이용하여 비선형특이섭동시스템을 제어하는 방법을 연구하였다. 궤환선형화기법은 시스템을 정확하게 알아야만 가능하다. 하지만 특이섭동시스템에서 사용되는 상수 $\epsilon$은 매우 작은 값이어서 정확한 측정이 힘들다. 이를 극복하기 위해서 $\epsilon$과 무관한 미분동형사상을 제안하였다. 제안된 미분동형사상은 전체 시스템이 아닌 두 개의 작은 시스템을 각각 선형화하기 때문에 위에서 언급된 문제를 피할 수가 있으며 적절한 미분동형사상을 찾기도 쉬워진다. 끝으로, 이렇게 선형화된 각각의 시스템에 고이득관측기를 적용하여 상태를 관측하고, 관측된 상태를 제어기의 입력으로 넣어서 전체 시스템이 안정화되는 것을 보였다.
