In this study, we introduce a new family of mixed finite element spaces of higher order$(k≥1)$ on general quadrilateral grids and consider a control volume(covolume) method for second order elliptic PDEs with the $rotated-Q_1$ nonconforming finite element on rectangular grids. A typical element has two fewer degrees of freedom than the well-known Raviart-Thomas finite element $RT_[k]$ [18], yet enjoys an optimal order approximation for the velocity in $L^2$-norm. The order of approximation in H(div;Ω)-norm is one less than the velocity, as is common to all other known elements, except a recent element introduced by Arnold et al[4]. However, we introduce a local post-processing technique to obtain an optimal order in H(div;Ω)-norm. This technique can be used to enhance the result of $RT_[k]$ element also, hence can be easily incorporated into existing codes. In pressure the new element has one lower order of approximation than the $RT_[k]$ element. However, the pressure also can be locally post-processed to produce an optimal order approximation. The greatest advantage of our finite element lies in that it has the fewest degrees of freedom among all the known quadrilateral mixed finite elements and thus together with the post-processing techniques provides a very efficient way of computing flow variables in mixed formulation.
For the covolume method, various diagonal tensor coefficients including discontinuous ones for second order elliptic PDEs are considered. We prove the first order convergence in $H^1$ norm and second order convergence in $L^2$ norm for the pressure variable. Unlike the usual nonconforming finite element method(FEM), the $L^2$-error estimate cannot be derived by a simple application of Aubin-Nitsche trick. The reason lies in that our covolume scheme is at most formulated in Petrov-Galerkin sense.
Numerical examples are in quite good agreement with the theory even for the case of almost degenerate quadrilateral grids and the new covolume scheme shows convergence properties superior to usual nonconforming FEM for various test problems.
본 연구논문에서는 이차 타원현 편미분방정식에 대한 일반사각격자 위에서 새로운 고차의 혼합유한요소와 사각격자 위에서 유한체적조절법을 소개한다. 여기서 소개된 혼합유한요소는 Raviart-Thomas(RT) 유한요소보다 2개 적은 자유도를 가지고 있으면 속도변소에 대해서는 최적의 근사도를 가진다. 그러나, 일반사각격자에서의 divergence norm에 대한 근사도는 최근에 Arnold와 동료들에 의해서 연구된 혼합유한요소를 제외하고 일반적으로 잘 알려진 혼합유한요소들과 마찬가지로 근사도가 최적의 근사도보다 하나 작다. 이를 최적도로 향상시키기 위해서 각각의 요소 위에서 적용할 수 있는 post-processing 방법을 소개한다. 뿐만 아니라 이 방법은 기존의 RT 요소에 의해서 얻어진 결과를 향상시킬 수 있으며, 이미 존재하는 code에 적용하기 쉽다.
부적합 체적조절법에서는 다양한 불연속 대각 tensor계수를 포함하는 이차 타원형 편미분방정식을 다룬다. 이 부적합 체적조절법을 적용하여 압력변수에 대해서 2차의 $L^1$ norm 수렴과 1차의 $H^1$ norm 수렴을 증명한다. 보통의 부적합 유한요소방법과는 달리 Aubin-Nitsche 방법을 적용해서는 $L^2$ 오차에 대한 증명을 할 수 없으므로 유한체적조절 방법은 Petrov-Galerkin형태의 수식화를 거쳐 $L^2$ 오차에 대한 증명을 하게 된다.
본 연구논문에서 소개된 새로운 혼합유한요소는 각각의 요소 위에서의 post-processing과 결합하여 벡터변수(속도) 뿐만 아니라 스칼라변수(압력)에 대한 최적 수렴도를 얻을 수 있고, 다른 유한요소보다 적은 자유도로 벡터변수에 대하여 효과적으로 계산할 수 있다는 장점을 가지고 있다.
수치실험을 통하여 변형된 일반 사각격자 위에서도 좋은 결과를 얻는다는 것을 보여주며, 부적합 유한체적조절법이 보통의 부적합 유한요소보다 나은 결과를 얻는다는 것을 보여준다.
