This dissertation handles the sampling expansion in Riesz basis and frame setting. Sampling theory enables us to convert an analog signal (continuous function) into a digital signal (discrete function) without loss of information of signal so that it plays an important role in communication engineering, signal processing and so on. Hence many mathematicians and engineers have produced many interesting results in sampling theory. First of all, in 1949, Shannon presented the sampling theorem for finite energy band-limited signals which gave a good foundation of sampling theory and made a big influence in application of sampling theory. Later on, with the development of multi-channel system and multi-input multi-output(MIMO) system, many researchers presented the sampling theory about those. But, many existing result on channeled sampling has some problems in stability or well-posedness. Hence Riesz basis and frame appear as the tool to ensure the stability of sampling series. In this dissertation, first, we observe the sampling theorem for channeled sampling and over-sampling in two channel sampling. Oversampling is to sample the input signal with rate greater than the Nyquist sampling rate. Oversampling is widely used in noise reduction, recovery of finite missing samples, and so on. Here we consider the recovery of finite missing samples in two-channel sampling or multi-channel sampling for band-pass or harmonic signal. Also we consider the sampling theory for MIMO system, we give a necessary and sufficient condition to have a stable sampling formula and consider the error estimate when we apply the sampling theory to signals which are not band-limited. Next, we consider the sampling on shift-invariant space. Although Shannon's sampling theorem have made a big amount of influence on sampling theory, but it relies on the use of band-limited function, and the sinc function has very slow decay so that it makes a computation inefficient. Hence many people considered the function with good decay, and consider the space with generated by its integer translations. Here we consider the sampling theorem for shift-invariant space and give an equivalent condition about the generating functions - splines, scaling functions in wavelet - under which we have a stable sampling formula. Moreover we consider the truncation error and aliasing error for sampling series, and oversampling on shift-invariant space.
이 논문에서는 리즈 기저와 프레임을 통한 일반적인 샘플링 전개를 다룬다. 샘플링 이론은 연속시간함수(아날로그 신호)를 이산함수(디지털 신호)로 바꿔 나타낼 수 있는 방법을 제시하며 이로 인해 통신공학, 신호처리 등의 여러 응용분야에서 중요한 역할을 하고 있으며, 많은 수학자와 공학자의 연구 대상이 되고 있다. 특히 1949년에 발표된 샤논의 샘플링 정리는 샘플링 이론과 이의 응용에 많은 영향을 끼쳐 왔다. 이후 다중채널 시스템 혹은 다중입출력 시스템이 신호처리에 이용되기 시작하면서 많은 사람들이 이에 대한 샘플링 이론을 발표하게 된다. 그러나, 지금까지 발표된 여러 이론에서는 몇 가지 수학적인 문제점이 존재하며, 샘플링 전개에 대한 안정성을 보장할 수 없다. 이로 인해 리즈 기저와 프레임 등이 샘플링 전개의 안정성을 얻을 수 있는 방법으로 등장하게 된다.
이 논문에서는 다중채널 시스템에서의 샘플링 정리를 살펴보고, 오버샘플링에 대한 기존의 이론을 살펴본다. 오버샘플링은 신호의 주파수 대역이 제시하는 최소의 샘플링 비율보다 높은 샘플링 비율로 샘플링을 하는 것으로, 먼저 오버샘플링 과정에서 얻은 데이터의 일부 유한한 데이터가 손실되었을 때, 이를 복구하는 방법에 대해서 살펴보게 된다. 다음으로, 다중채널 시스템의 일반화된 형태라고 할 수 있는 다중입출력 시스템에서의 샘플링 정리에 대해 살펴보게 되며, 샘플링 전개의 안정성을 얻을 수 있는 필요충분조건을 제시하고, 주파수 대역이 광범위한 신호를 처리할 때 생기는 왜곡오차의 한계에 대해 알아본다.
샤논 정리는 샘플링 이론에서 가장 기본적이고도 많은 영향을 끼친 정리이지만, 저주파 신호의 사용에 의존하고 있으며, 감소 속도가 느려서 실제적인 계산에는 비효율적이라는 문제점이 있는 등 여러 가지 문제점을 동반하게 된다. 이로 인해 많은 이들은 감소 속도가 좀 더 좋은 여러 함수들을 생각하게 되며 - 스플라인, 웨이블릿 이론에서의 스케일링 함수 등 - 이의 정수 이동으로 인해 생성되는 공간(이동 불변 공간)에서의 샘플링 전개를 다루게 된다. 본 논문에서는 이동불변공간에서의 샘플링 정리를 살펴보고, 샘플링 정리의 안정성을 얻을 수 있는 필요충분조건을 이동불변공간의 생성자에 대한 조건을 통해 나타낸다. 또한, 이동불변공간에서의 샘플링 정리에 대한 절단오차와 왜곡오차의 한계에 대해 알아보며, 이동불변공간에서의 오버샘플링 전개가 가능한 조건을 찾아보고자 한다.
