A new topology optimization methodology, named smooth boundary topology optimization, is proposed in this paper to overcome the shortcomings of cell-based approaches, where the number of design variables tends to be too large, and a filtering process or an image process must be followed for an applicable result. The domain boundary is initially represented by a geometric function, B-spline curves composed of a number of control points, and the density of each finite element is not considered; only the location of the control point is considered. After calculating two kinds of design sensitivities, the topological sensitivity and the shape sensitivity of the B-spline’s control points, the design is improved by either creating a hole in the domain or moving control points to change the boundary, or both if necessary. These two kinds of design sensitivities are verified by comparing with the numerical sensitivity. Selection criterion, SC, is introduced to determine the moment of creating a hole. SC is defined as the sensitivity of an objective function divided by the sensitivity of a constraint function, and it means the ratio of improving the objective function to sacrificing the constraint function. Two kinds of SCs on creating a hole and moving boundary are calculated and compared to determine the direction of design modification. Once it is determined to create a hole, its boundary is represented by a new B-spline with a sufficient number of control points and recognized as a new boundary of the design domain. Additionally, some manipulative topics on programming are covered related to boundary rendering: the side constraints of each design variable (the location of control point) to prevent curve entangling phenomenon, and the hole merging functionality in case an intersection between two separate holes occurs. The feasibility of this methodology is shown with several applications where compliance or natural frequency is chosen as a performance measure. Using this methodology, a new design of a hip prosthesis and a flexure stage are studied. It is shown that this method is a natural way of obtaining smooth boundary topology design effectively which combines computer graphics technique and design sensitivity analysis, and leads to good results with uniform density and smooth boundaries.
"부드러운 경계 위상법"은 기존의 균질화법이나 밀도법 등 셸 기반 위상 최적화 기법들의 단점을 극복하고 부드러운 경계를 갖는 최적 형상을 얻기 위하여 개발되었다. 셸 기반 위상 최적화 기법들은 설계 변수를 셸 단위로 지정해야 하므로 상당한 수의 설게 변수가 필요하고, 최적화 이후에 형상의 경계가 부드럽지 못하므로 이후 이미지 프로세싱 등의 별도 작업이 수반된다. 이에 반해 본 논문에서 제안한 부드러운 경계 위상법은 구조의 경계를 비스플라인과 같은 파라메트릭 정보로 표현하고 비스플라인의 조정점을 이동하여 최적의 형상을 찾는 방법을 기반으로 하므로 설계 변수의 개수가 비교적 적고 부드러운 경계의 표현이 가능한 장점이 있다.
본 논문에서 새로 제안한 선택 지수는 최적화 과정 중에 위상의 변화가 가능하도록 한 구멍 생성의 기준으로서, 특정 설계 변수에 대한 목적함수의 민감도와 제한조건의 민감도의 비로 정의되며 이는 설계 변수의 변화로 야기되는 제한조건 대비 목적함수의 향상 비율을 의미한다. 이를 이용하여 최적 설계의 매 축차마다 위상 민감도에 의한 영역내의 선택 지수와 형상 민감도에 의한 경계상의 선택 지수를 비교하여 구멍의 생성 여부를 결정하게 된다. 만일 새로 구멍이 생성된 경우 이 또한 비스플라인으로 경계를 표현하며 이 비스플라인의 조정점들은 이후 형상 최적화 절차의 새로운 설계 변수 집합에 포함된다. 또한 설계 영역 내에 구멍들의 형상 및 위치 변화로 인해 두 구멍이 합쳐지는 경우에는 두 구멍의 겹치는 영역의 조정점들을 삭제하고 합쳐진 형상의 구멍을 재구성한다. 따라서 부드러운 경계 위상법은 설계 변수의 개수가 고정되어 있지 않고 변할 수 있다. 단, 경계를 표현하는 모든 비스플라인의 조정점들이 설계 변수가 되므로 최적화 과정 중에 경계 곡선의 꼬임 현상이 발생할 수 있기 때문에 이를 방지하기 위해 조정점들의 이동 범위를 지정하는 방법이 별도로 고안되었다.
부드러운 경계를 표현할 수 있다는 점에서 본 방법은 최근 각광을 받고 있는 레벨셋 방법과 유사점을 보이는데, 레벨셋 방법이 레벨셋 함수를 내삽하여 경계를 추적하는 내재적 (implicit) 방법인 데 반하여 부드러운 경계 위상법은 비스플라인의 조정점에 의해 경계를 직접 표현하는 명시적 (explicit) 방법이라는 데에 큰 차이가 있으며 본 논문에서는 각 방법의 장단점을 논하였다. 본 방법을 이용하여 컴플라이언스 및 고유진동수를 고려한 구조의 최적 설계를 수행하였으며, 이를 통해 부드러운 경계 위상법이 구조 내의 일정한 밀도와 부드러운 경계를 보장하는 사실을 확인하였고 컴퓨터 그래픽스 기법을 기반으로 한 효율적인 위상 최적화 방법임을 입증하였다.
