The $L^1$ -convergence order of the porous medium equation $u_t = \Delta(u^m)$ to the Barenblatt solution is studied. The optimal convergence order will be obtained using the potential comparison method for the compactly supported radial symmetric initial data when the space dimension is not equal to two. Also the optimal convergence order for the p-Laplacian equation will be obtained under the same constraint on initial data. Therefore, using the survey of the entropy method contained in this paper, we can conclude the potential comparison method is sufficiently strong under the constraint on the initial data.
1903년 Boussinesq가 다공성 매질에서의 유체의 흐름을 기술하는 다공성 매질 방정식(Porous Medium Equation, 이하 PME)을 유도한 후, 1950년대 Zel'dovich의 연구 그룹이 PME를 플라즈마에서의 열 확산 모델로 사용함에 따라 PME는 그 중요성이 알려져 이에 대한 많은 연구가 행해지고 있다.
PME의 해는 Barenblatt 해라는 특수한 해로 $L^1$ -수렴하는데 이 수렴 정도(order)는 얼마나 빨리 열이 확산하는지를 나타내는 척도가 될 수 있으므로 최적의 수렴 정도를 구하는 문제는 중요하다. 이 문제를 해결하기 위한 여러 방법이 개발되었는데 Carrillo 외 수학자들이 썼던 엔트로피 방법[3]이 대표적이었고 최근에는 퍼텐셜 비교 방법[8]이 개발되었다. 엔트로피 방법은 뛰어난 범용성 때문에 사랑 받았지만 최적의 수렴 정도를 얻을 수 없다는 단점이 있었다. 또한 본 논문에서 고전적인 엔트로피 방법을 자세히 살펴본 결과 엔트로피 방법은 방정식을 다른 방정식으로 변형하는 과정이 본질적이서 원래 방정식 자체를 살피기 힘듦을 알았다.
이는 퍼텐셜 비교 방법을 써볼 충분한 동기가 되었고 본 논문에서는 퍼텐셜 비교 방법을 통해 compactly supported radial symmetric 초기값에 대해 공간 차원이 2가 아닌 경우를 제외하고 최적의 수렴 정도를 찾았다. 따라서 퍼텐셜 비교 방법은 해에 이러한 제약 조건이 있는 경우에 충분히 강력한 방법임을 보였다.
뿐만 아니라 퍼텐셜 비교 방법으로 p-Laplacian 방정식의 최적의 수렴 정도를 얻음으로써 이 방법의 강력함을 다시 한 번 확인할 수 있었다.
