A polygonal knot is a simple closed curve in the Euclidean space $\mathbb{R}^3$ obtained by joining finitely many points with straight line segments. The polygon index of a knot k ,denoted by p(k), is the minimal number of edges among all polygonal knots equivalent to k. It is know that if k is a nontrivial knot, then p(k) ≥ 6. Furthermore, the trefoil knot is the only knotted hexagonal knot. An n-secant line for a knot k is an oriented line whose intersection with k has at least n components. An n-secant is an ordered n-tuple of points in k which lie in order on an n-secant line. A 4-secant is called a quadrisecant. It is known that every non-trivial tame knot in $\mathbb{R}^3$ has a quadrisecant. Let k be a knot which has finitely many quadrisecants. Then they cut k into finitely many subarcs. Straightening each of the subarcs with the end points fixed, we obtain a polygonal knot $\hat{k}$ which may have self-intersections. We call $\hat{k}$ the quadrisecant approximation of k. The main results show that every hexagonal trefoil knot has exactly three quadrisecants and the quadrisecant approximation of a hexagonal trefoil is a trefoil knot.
3차원 유클리드 공간 상의 유한한 점들을 직선으로 연결함으로서 얻어지는 단순폐곡선을 다각매듭이라고 한다. 그리고 임의의 매듭과 동치관계인 최소변 다각매듭의 변의 수를 그 매듭의 다각지수라고 한다. 만약 매듭의 다각지수가 6보다 크거나 같으면 그 매듭은 풀리지 않는 매듭이라는 것이 알려져 있다. 게다가 세잎매듭이 다각지수가 6인 유일한 매듭이라는 사실도 알려져 있다.
n중할선이란 매듭과 적어도 n개의 다른 점에서 만나는 직선을 말한다. 여기서 4개의 다른 점에서 만나는 직선을 사중할선이라고 한다. 이와 관련하여 3차원 유클리드 공간 안에 있는 모든 풀리지 않는 매듭은 사중할선을 가진다는 사실이 알려져 있다.
유한개의 사중할선들을 가지는 매듭이 있을 때, 사중할선들이 그 매듭을 유한개의 부분호들로 나눈다는 사실을 알 수 있다. 양 끝점을 고정시킨 채 그 부분호들을 직선화 하면 새로운 다각매듭을 얻을 수 있는데 그것을 그 매듭의 사중할선근사라고 한다.
본 학위논문의 중심결과들 중 첫번째 결과는 모든 육각세잎매듭은 정확히 3개의 사중할선을 가진다는 것이다. 그리고 앞의 결과를 토대로 육각세잎매듭의 사중할선근사가 항상 세잎매듭이 된다는 내용의 두번째 결과를 얻을 수 있다.
