Simplex is a convex hull with N+1 points in N dimension and simplex finite elements are the most basic approximation form with least dofs in given dimension. Traditional displacement-based triangle and tetrahedral elements have geometrical advantages in creating meshes for finite element analysis, but demerits on performance due to membrane and volumetric locking and mesh sensitivity. This study proposes two ways to improve the simplex type elements by treating the constant strain element as a building block.
Firstly, we propose a macro membrane triangle element with sub-triangle elements from the individual element test. The patch test for the single finite element is used in order to improve the accuracy by incorporating with building a macro element. The macro element is constructed in an algebraic form of the stiffness matrix with free parameters as the free formulation framework. The macro element basically maintains its patch test passing characteristic from sub-elements and also has additional higher order deformation modes. The static condensation of assembled sub-elements with only constant strain produces linear strain modes in the resulted macro elements. The newly produced linear strain modes are captured in the higher order stiffness matrix by the systemic free formulation procedure. The parameter of the decomposed higher order stiffness was tuned through the bending test. The result of the present macro elements shows both accuracy and robustness in an aspect ratio test and a distorted mesh test.
Secondly, a triangle and a tetrahedral are constructed incorporating with averaged nodal gradient of neighborhood elements. Partition of unity based finite element approximation puts averaged nodal gradient field into a standard finite element without complex variational formulation. During this procedure, node-based averaged strain fields from adjacent constant strain element are inserted as nodal variables of local approximate function in the partition of unity method. Additional connections through averaged nodal strain field enhance the convergence performance by enriched deformation modes. Volumetric locking of linear simplex elements is diminished, because nodally calculated strains reduce the excessive constraints of tradition finite element. Final form of new element stiffness has both constant strain element stiffness and averaged nodal strain element stiffness, and they are mixed with parameter. Eigenvalue test shows the spurious non-zero energy modes of other averaged strain elements are eliminated. Though averaged nodal gradient elements require little more computational cost, show the performance enhancements over standard simplex element in the numerical tests.
유한 요소 해석 시간의 대부분은 전처리 과정 즉 요소망 생성과 편집에 소요된다. 심플렉스 요소는 최소한의 절점으로 복잡한 임의의 형상을 모델링 할 수 있으며, 이를 위한 자동 요소망 생성기법이 활발히 연구 되어 상용 프로그램에 탑재 되어 있다. 그러나, 기존의 변위 기반 심플렉스 요소는 체적 구속 및 과도한 요소망 민감도로 인해, 정확한 해석을 위해 고차의 요소나 비 심플렉스 요소로 대치되어 왔다. 본 논문에서는 조각 시험을 만족하기 위한 최소한의 조건인 일정 변형률 장을 기반으로 각각 요소 내부의 추가 자유도를 사용하는 3절점 매크로 요소와 요소 주변의 자유도를 사용하는 절점 평균 변형률장을 이용한 고성능 삼각형/사면체 요소를 개발하였다.
단일 요소에 적용할 수 있는 조각 시험인 IET는 다른 관점에서 자유도, 기하학적 형상, 요소망 및 해석 상황에 관계없이 일정 변형률을 표현할 수 있는 요소 강성을 만드는데 필요한 제한 조건으로 해석될 수 있다. 따라서, 요소의 형상과 자유도가 정해지면 그에 알맞은 일정 변형률 장을 근사할 수 있다. 이렇게 만들어진 일정 변형률 장을 기반으로 요소의 내부와 외부에서 추가적인 고차의 변형률 장을 구성하였다.
먼저, 심플렉스 형상 요소의 일정 변형률 장을 기본으로 요소 내부에 가상 절점을 생성하여 조각 시험을 통과하는 성질을 유지한 회전 자유도를 가진 기본 요소로 매크로 요소를 구성하였다. 매크로 요소는 부요소를 만드는데 사용했던 가상 절점을 소거하여 가상 절점에 관련된 에너지를 나머지 요소 꼭지점으로 분배하는 방법이다. 제안된 매크로 요소는 자유 수식화 방법을 사용하여 고차 강성항을 최적화 하였으며, 기본 요소의 조각(patch)로 구성된 요소이므로 응력회복 기법을 이용하여 요소 응력을 계산하였다. 수치 실험 결과 성긴 요소망, 요소 왜곡에서도 강건한 정확성을 확인하였다.
요소 내부에 가상 절점을 생성 시켜 얻는 성능 향상에는 한계가 있고, 앞에 제안된 매크로 요소를 3차원 사면체 요소로 확장하는 것에는 어려움이 있다. 따라서 요소의 외부로부터 추가적인 자유도를 공급 받을 수 있는 방법을 모색하였다. 일정 변형률 요소로 구성된 요소 망에서 절점 평균 변형률은 절점의 위치에 따라 차이는 있으나 기본 요소보다 좋은 수렴성을 가진다. 외부로부터 추가적인 변형 모드를 공급 받을 수 있는 절점 평균 구배를 복잡한 혼합 변분 수식화 과정 없이 표준 유한 요소법 추가적인 절점 자유도로 적용하여 심플렉스 요소를 구성하였다. PU-기반 유한 요소법의 일종인 일반화 절점법 과정을 통해 추가적인 자유도의 공급 없이 절점 평균 구배로 절점 미지수를 대치하여 간편하게 새로운 절점 평균 구배 요소를 개발 하였다. 요소의 강성은 절점 평균 구배에 의한 부분과 일정 변형률 부분으로 구분 되면 혼합량은 매개변수를 사용하여 표현하였다. 매개 변수의 값은 요소의 근사 정의역이 일치하지 않으며, 변분 부등식의 수식화에 어려움이 있으므로 수치 해석을 통해 0.05~0.25 사이에 값을 가지는 것이 요소의 구속 현상을 완화시키며, 가상 에너지 모드의 출현을 방지하는 것으로 관찰되었다. 수치 실험 결과, 원래 선형 심플렉스 요소가 가지고 있던 체적 구속 현상이 많이 완화 되었으며, 기본의 절점 평균 변형률 요소가 가지고 있던 가상 에너지 모드도 사라짐을 확인 하였다.
향후 연구과제로는 본 논문에서 제안된 요소를 비선형, 동적 응답 현상으로 확장하고, 요소 수식화 과정에서 사용한 절점 평균 구배의 변형률장과 일정 변형률 장의 혼합율에 대한 최적화가 요구되며, 또한 절점 평균 구배 외에도 다른 절점 기반 물리량을 이용하여 요소 성능 향성에 관한 연구가 필요하다.
