In this thesis we consider some applications of a path integral method of quantum mechanics to option pricing. Feynman-Kac formula gives a unique arbitrage-free price of options, and the transitional probability density function in the formula can be explicitly expressed as the path integral. Because every underlying stochastic process(eg. Non-Markov process, smooth motion, and multiple underlying processes) has a path integral representation and path integrals can be evaluated by the very fast numerical methods, we suggest that the path integral approach have a potential to be a universal option valuation method.
We also verify that the FFT-based numerical algorithm for computing path integrals is more efficient and accurate than other traditional numerical methods, lattice and FDM(Finite Difference Method). The path integral method reduces the significant errors which originate in a non-linearity of an initial condition(a payoff function) and of a boundary condition(a barrier). And how to apply our algorithm to path dependent options, interest rate options and American-style options is described.
옵션의 가격을 결정하는 방법으로는 무차익거래 조건하에서 무위험 포트폴리오를 구성하여 얻어진 편미분방정식(PDE)의 해를 구하는 방법과 파인만-칵 식(Feynman-Kac formula)으로 알려진 미래 손익구조(payoff)에 대한 현재 기대값을 구하는 방법이 있다. 현재 기대값을 구하기 위해서는 기초자산이 따르는 무위험(risk-neutral) 확률과정의 전이확률값(transitional probability; Green’s function)을 알아야 하는데, 양자 물리학(quantum mechanics)에서 널리 쓰이는 경로적분법(path Integrals)은 일반적인 확률과정에 대한 전이확률값을 계산할 수 있게 해준다. 가우스 경로적분(Gaussian path integrals)의 경우는 폐쇄형 해(closed form solution)를 얻을 수 있으며, 좀 더 복잡한 경로적분의 경우에는 몬테카를로 시뮬레이션이나 이산화 기법(discretization scheme)을 이용한 효율적인 수치 해법을 제공해 준다. 본 연구에서는 경로적분법을 적용하여 옵션의 가격을 결정하는 방법과 그 특징들을 살펴본다. 특히, 경로적분법에 의한 수치해법이 옵션 손익구조의 비선형성과 이산화(discretization) 과정에 기인하여 발생하는 수치해법상의 가격계산 오차를 크게 줄일 수 있을 뿐만 아니라, 특이옵션(exotic options)과 다자산 옵션(multi-asset options)의 경우에도 적용 가능하여 옵션 가격을 계산하는데 있어서 기존의 방법들보다 일반적인 방법임을 보인다.
