Queueing models are generally sorted into two types. They are continuous-time queue and discrete-time queue. Discrete models have a variety of assumptions. Because of the assumptions, the results look much different from continuous model results.
GI/Geo/1/SGV queuing system is discrete system and the server takes exactly one geometric vacation each time the system empties.
In this paper, Markov chain is defined by using EAS(Early Arrival System). Then from the transition probability matrix P associated with the imbedded Markov chain, the balance equations are obtained. From that, the probability generating functions of the stationary queue length and the stationary FCFS (First come First service) sojourn time are obtained. Then the results are compared with corresponding continuous-time counterparts. The results are also compared with GI/Geo/1 with multiple geometric vacation.
기존의 대기 행렬 시스템은 연속 시간 대기행렬을 중심으로 연구 되어왔다. 이산 시간 대기 행렬은 최근에 들어서 연구 되기 시작 하였으나, 통신시스템에서의 광범위한 응용 가능성으로 인해 연구가 증대 되고 있다.
본 논문에서는 이산 시간 대기 행렬 중에서도 서버가 유휴일 경우 휴가를 가는 GI/Geo/1/SGV 에 대해 연구 하였다. 이때 SGV는 한번 만 휴가를 가는 시스템으로, 휴가 후 다시 시스템에 돌아 왔을 경우 시스템에 고객이 존재하지 않을 경우 휴가를 다시 가지는 않는다.
그러나 이산 시간 대기 행렬의 경우 시간 축이 연속이 아니기 때문에 여러 가지 가정을 고려하고 있다. 이 중 본 논문에서는 선도착 ( Early Arrival System ) 모형을 사용 하였다. 선도착 모형의 경우는 간격( slot )으로 나누어진 이산시간 축에서 한 슬롯 동안 일어난 도착이 해당 슬롯의 맨 처음에 도착하는 것으로 가정하는 모형이다. 이 경우 이탈은 슬롯의 맨 끝에서 일어나는 것으로 가정한다. 이것은 슬롯의 경계에서만 시스템이 관찰 가능하도록 가정 한 것이다. 따라서 슬롯 경계 축을 중심으로 생각했을 경우 도착 지점을 내재시점으로 관찰 한 것이 되므로, 도착지점 직전을 기준으로 모델링 하는 GI/M/1 시스템과 관찰시점이 일치한다.
이 가정을 바탕으로 평행방정식을 만들어 풀었다. 여기서 해는 기존의 방법을 인용, 방정식을 만족시키는 시험해를 방정식에 대입하여 타당함을 증명하고 상수를 도출하였다. 그리하여, 도착시점의 확률을 얻었다.
또한 평행방정식에서 도출 된 도착시점 확률을 이용, 임의시점의 확률과 시스템에서의 대기시간(대기행렬에서의 대기시간+서비스 시간)의 확률생성함수를 얻었다. 이 때 대기시간의 함수는 GI/Geo/1의 대기시간 PGF로 분해 되어서, 이 시스템에서도 분해 속성이 적용됨을 알 수 있었다.
같은 방법으로 GI/Geo/1/MEV를 풀어, 도착시점, 임의시점, 대기시간의 확률이 매우 유사함을 알 수 있었다.
결과적으로 본 논문에서의 GI/Geo/1/SGV의 결과들은 연속시간 대기행렬인 GI/M/1/SEV의 결과와 대응되는 것을 알 수 있다. 따라서 가정을 잘 고려하고 대치되는 항을 잘 연결할 경우 연속시간 대기행렬의 결과로 이산시간 대기행렬의 결과를 유추 할 수도 있을 것으로 보여진다.
따라서 추후로 서비스 시간이 일반분포이고 도착 간격이 지수분포인 M/G/1 모델과 도착간격이 베르누이 분포인 Geo/G/1의 모델의 경우도 결과를 대응 시켜 연결 할 수 있을 것으로 예상된다. 그러나 이 경우에는 내재시점을 후도착모델인(Late Arrival system)으로 고려하는 것이 좀 더 바람 직 할 것으로 보여진다.
