Acoustic diffraction by a finite strip in convected medium is theoretically analyzed as a fundamental study of linear cascade-turbulence interaction and airfoil-gust interaction phenomena which are important issues on aeroacoustics. The analysis is mainly focused on the rigorous mathematical procedures from the formulation of concise integral equation to the acquisition of exact solution. Since this finite diffraction problem belongs to a 3-part mixed boundary value problem of convective wave equation, its value is of great importance from the viewpoint of mathematical methodologies as well as the viewpoint of physical understanding of the simplest multiple diffraction phenomena. Therefore, the aims of this study are (ⅰ) to formulate an exact and concise equation, (ⅱ) to obtain an exact solution in handy form and (ⅲ) to interpret the physical meaning of mathematical solution.
On the formulation, the exactness comes from the use of a function theoretic method called Wiener-Hopf technique in complex domain and the conciseness comes from the uses of Prandtl-Glauert transform and some mathematical manipulations of decoupling the simultaneous integral equations resulted from the Wiener-Hopf procedure.
On the acquisition of solution, since the finiteness of strip geometry inevitably yields a multi-valued kernel in integral equation, author proposes a solution technique which is mathematically rigorous and yields a series solution whose eigenfunction is generalized gamma function with the application of author’s new formulas for this special function. The convergence analysis of the solution is performed in complex domain along the path of integration of inverse Fourier transform. We could observe that our series solution shows fast convergence in high frequency range.
Finally, by exact and asymptotic evaluations of inverse Fourier transform, the scattered acoustic fields are visualized and each term of the solution is interpreted with its physical meaning as (ⅰ) leading edge scattering, (ⅱ) trailing edge correction and (ⅲ) the interaction between leading and trailing edges.
유한한 길이의 strip에 의한 음파의 회절문제는 다중회절이 발생하는 가장 단순한 물체에 의한 현상의 물리적 이해뿐 아니라, Dirichlet 경계조건과 Neumann 경계조건이 혼합된 3-part 혼합경계치 문제의 수학적 해법에 관하여도 중요한 의미를 가지는 문제로서, 1896년 Sommerfeld에 의해 반무한 strip의 엄밀해가 구해진 이후 다양한 연구방법을 통하여 해석되어 왔다. 본 논문은 2차원 균일 유동장 내에 놓인 유한한 길이의 strip에 의해 산란된 음장을 해석하기 위한 엄밀한 수학적 과정을 제시하며, 복소공간에서의 급수해 획득 및 수렴특성을 파악하고, 물리공간에서의 고주파 점근해석결과를 통해 해의 각 항에 대한 물리적 의미를 부여한다.
광파 및 전자기파의 회절과 달리, 매질의 흐름이 있는 경우의 수학적 기술은 파동방정식내의 시간미분항이 전미분을 포함하므로, 그 복잡성을 해결하기 위해 본 연구에서는 Prandtl-Glauert 좌표계와 새로운 종속변수의 도입을 통해 Helmholtz 방정식과 이에 상응하는 경계조건을 유도하여 매질의 흐름이 없는 것과 같은 문제로 변환하는 것으로부터 출발한다. 또한, 경계조건의 혼합은 변수분리 혹은 일반적인 적분변환을 통해 편미분 방정식을 해석하는 것을 불가능하게 하므로, 저자는 일반화된 Fourier 변환 및 함수해석학적 방법인 Wiener-Hopf 방법을 이용하여 복소공간에서 문제를 해석하였다.
하지만 2-part 문제와 달리 3-part 혼합경계치 문제는 필요 불가결하게 연립된 형태의 적분방정식을 낳게 되며 방정식의 kernel 또한 multi-valued 함수여서 이에 대한 정확한 해법의 부재는 적분방정식을 통한 엄밀한 해석의 가장 큰 어려움이 되어왔다. 따라서 본 연구에서는 Jones와 Noble에 의해 제안되었던 수학적 단순화 과정의 아이디어 및 엄밀한 정적분 계산을 통하여 매질의 흐름이 있는 경우에 대한 간결하고 엄밀한 독립 적분방정식을 수립하였다.
적분방정식의 풀이를 관하여는, 적분항 내의 미지함수를 해석영역에서 Taylor급수로 전개한 후 미분계수를 미지수로 가지는 대수방정식의 풀이를 통해 generalized gamma 함수를 eigenfunction 으로 하는 급수해를 얻었다. 1991년 Kobayashi에 의해 정의된 generalized gamma 함수는 회절이론에서 등장하는 중요한 함수로서 적분형태로 되어있으며, 1950년대 Noble의 문헌에도 비슷한 형태로 이미 등장한 바 있고 특수한 경우에 대하여는 Whittaker함수로 표현되었다. 이 특수함수는 급수해의 eigenfunction 임과 동시에, 미분계수를 계산하기 위한 행렬의 각항에 여러 번 미분된 형태로 포함되어 있기 때문에 함수값 및 미분계수를 정확하게 계산하기 위해서는 이 함수의 explicit 한 표현식을 갖는 것이 매우 중요하다. 하지만 현재 사용 가능한 식들은 점근해석에 의존하고 있으며 argument 또한 대부분 실수에 한정된 공식들이고, 고차로 미분된 generalized gamma 함수를 얻기 위한 식도 점근식을 바탕으로 한 점화식 밖에 없기 때문에, 일반항을 가지는 급수해의 획득을 어렵게 했던 주된 요인으로 보인다.
따라서 본 연구에서는 다항식과 Fresnel 함수의 조합으로 표현된 generalized gamma 함수에 대한 엄밀하고 새로운 공식을 유도함으로서 그 어려움을 해결하였다. 또한, 이 공식을 통해 대수방정식 행렬의 각 항을 정확하게 계산함으로써 eigenfunction 의 미분계수 및 복소공간에서의 급수해를 얻을 수 있었으며, 급수항의 증가를 통해 급수해의 수렴특성을 확인할 수 있었다.
마지막으로, 복소포텐셜은 물리공간으로 역변환 되어 회절현상을 가시화 할 수 있었으며, 이를 통해 해의 각 항들은 각각 (i) 앞전에 의한 산란항, (ii) 뒷전 효과 고려항 및 (iii) 앞전과 뒷전과의 상호작용항으로 그 물리적 의미를 파악할 수 있었다. 이와 같은 엄밀한 해의 획득과 그 물리적 해석은, 엄밀하지만 난해한 수식의 해석을 통해 보다 깊은 물리현상의 이해를 가능케 하며 전산공력음향학의 외부경계조건 및 날카로운 edge 처리를 위한 수치해석 검증용으로서의 benchmarking solution을 제공할 것으로 기대된다.
