Uncertainties in engineering systems are getting great attention in recent years in the area of optimal design. Deterministic techniques do not take account of the effect of such variations on system response functions and therefore, the resulting design may not be satisfactory as expected. That is, it may be very sensitive to those uncertainties and can not achieve specified levels of constraint satisfaction. Therefore, it is necessary to consider these uncertainties in design step and to use stochastic approaches such as robust design, reliability-based design optimization, and tolerances design. This research focuses on robust optimal design, in which the statistical moments and satisfaction probabilities of performance functions are calculated to achieve robustness of constraints as well as the objective function. The method developed called function approximation moment method (FAMM) is shown very accurate and efficient and illustrated by several design problems.
FAMM calculates the first four moments and the satisfaction probability of a system response function. The moments are estimated from an approximating quadratic function of a system response function and the Pearson system is utilized to calculate subsequent probability distributions. The function approximation is performed on a specially selected experimental region for accuracy, and the number of function evaluations is taken equal to that of the unknown coefficients for efficiency. For this purpose, three error-minimizing conditions are proposed and corresponding canonical experimental regions constructed accordingly. They are calculated and tabulated for popular probability distributions. An interpolation function is then obtained using a D-optimal design and subsequently, the moments and probability with no additional effort. Several non-linear examples and applications are considered including mathematical functions, a beam under uniform load, Fortini’s clutch, a vibrating micro-gyroscope, a frame structure, and a nano-positioning system. The moments and the probabilities obtained show very good efficiency and accuracy in comparison with those from the Monte Carlo method, the full factorial moment method, the point estimate method, as well as the first-order reliability method (FORM). The influence of the experimental region is examined and the canonical experimental region proposed is satisfactory. In the application case of a nano-positioning system manufactured in the form of an assembly, the effect of cumulative tolerances on performance functions is carefully investigated and remedial processes such as re-finishing work and pairing up of matching components are suggested to greatly improve the performance.
A procedure of design sensitivity analysis for statistical moments and probabilistic constraints is developed in the form of integral, and a modified numerical integration scheme. It is based on a multi-level design of experiments using the approximate functions obtained from FAMM. Accuracy and efficiency of the sensitivities is examined through mathematical problems. The robust optimization scheme, which is composed of FAMM, the sensitivity analysis from the approximate functions, and optimization algorithms, is applied to a mathematical problem, a vibrating micro-gyroscope, and a supporting position problem of TFT-LCD glass panel. The procedure is shown satisfactory and efficient in comparison with the conventional approaches based on FORM. This also indicates the necessity of robust optimal design in comparison with deterministic optimization. Especially, the supporting position problem shows that an optimal solution without considering uncertainties can be no better than the initial design under the realistic uncertainty considered.
공학 시스템에 존재하는 불확실성은 최적설계 분야에서 최근에 많은 주목을 받고 있다. 결정론적 기법은 시스템 성능 함수에 대해 이러한 변동량을 고려하지 못하므로 최종 설계에서 성능은 기대 이하일 가능성이 존재한다. 즉 그 성능은 불확실성에 민감하며 제한조건을 만족하지 못할 가능성을 상당량 내포하게 된다. 그러므로 설계단계에서 이러한 불확실성을 고려하여야 하며 강건 설계, 신뢰도 기반 최적설계와 공차 설계와 같은 추계론적 방법을 채택하는 것이 바람직하다. 본 연구는 강건 최적설계에 초점을 맞추었으며 이 방법론은 기존 최적설계에서 목적함수와 제한조건의 강건성을 확보하기 위해 성능함수들의 통계적 모멘트와 확률 제한조건의 계산을 요구한다. 그러므로 이러한 통계적 특성치를 계산할 수 있는 방법인 함수 근사 모멘트 방법(FAMM)을 개발하였으며 이의 정확성 및 효율성을 몇 가지 설계 문제를 통해 검증하였다. FAMM은 시스템 성능함수의 1~4차 모멘트와 만족 확률을 계산한다. 여기서 모멘트는 시스템 성능함수를 2차 다항식으로 정교하게 근사하여 추정하며 만족확률은 얻어진 모멘트와 피어슨 시스템을 활용하여 추정한다. 함수 근사는 정확도를 보장하기 위해 특별하게 선정된 3가지의 오차 최소화 조건을 통해 얻어지며 이를 정규 실험영역이라 명명한다. 그리고 함수 계산 횟수는 2차 다항식의 계수 개수만큼만 필요하게 되어 방법론 자체는 매우 효율적이 된다. 대표적으로 많이 활용되는 확률 분포에 대한 정규 실험영역이 표로 정리되어 제공하였다. 정규 실험영역에서 2차 다항식을 얻는 것은 실험계획법의 한 종류인 D-optimal 계획법과 최소 자승법을 통해 얻어진다. 이렇게 얻어진 2차 근사 함수로부터 모멘트와 확률은 손쉽게 얻을 수 있다. 수학 함수에 의해 정의된 문제에서 실제 공학 시스템인 마이크로 자이로스코프 및 정밀위치결정기구인 XY-stage에까지 다양한 문제에 적용을 하여 기존의 방법론들과 같이 정확성과 효율성을 비교하였다. 또한 제안된 정규 실험영역의 타당성을 예제를 통해 검증하고 만족한 결과를 얻었다. 특히 XY-Stage에서는 각 단품에 할당된 공차가 축적될 경우에 시스템의 성능을 크게 훼손할 수 있음을 정량적으로 보여주었으며 그 극복 방안을 제안하였다. 통계적 모멘트와 확률 제한조건에 대한 민감도 해석을 수행하였으며 그 민감도는 적분 형태로 표현됨을 확인하였다. 이 적분으로 표현되는 민감도를 계산하기 위해 FAMM의 근사 함수와 다수준 실험계획법을 기반으로 수치 적분법을 개발하였다. 민감도는 정확성과 효율성은 수학적 예제를 통해 수치적으로 검증하였다. 최종적으로 FAMM, 근사함수로부터 얻어진 민감도와 최적화 알고리즘을 통합하여 강건 최적설계 알고리즘을 구축하였으며 이를 수학 문제, 마이크로 자이로스코프와 TFT-LCD 유리 기판의 강건 최적 지지점 문제에 적용하여 만족스러운 결과를 얻었다. 이를 통해 결정론적 최적화의 한계를 파악하고 강건 최적화의 필요성을 분명히 확인하였다. 특히 TFT-LCD 유리 기판의 받침대 위치 문제에서 불확실성을 고려하지 못하는 최적설계 해는 실제의 불확실성을 고려할 때 전혀 개선이 이루어지지 않은 결과를 줄 수 있음을 보여주었다.
