In most topology optimization methods up to now, the design domain once selected is kept fixed during optimization process. This fixing of the design domain a priori can cause optimization results restricted and give an unsatisfactory result. To really create a design expansion, a new concept of methodology which is called design space optimization has been proposed earlier. In this approach, the number of design variables can be increased progressively from a small to a large number. Even though the concept is good and has the theoretical background, there have been several problems to be solved for practical purpose. One of them is its computational cost, especially for large-scale problems often faced in automobile and aircraft industries.
In this paper, various implementations are proposed to strengthen and modify the original methodology of design space optimization. First, fixed grid (FG), often called background mesh, is adopted for the proposed method. FG has been efficiently employed in problems where the geometry or the physical properties of a domain change with time. The advantage of FG is that simple modifications enable an existing numerical formulation and solution to be adapted in the changing environment. This property makes design space optimization best implemented with FG. In this paper, a fixed grid is selected a priori, but it can be taken as large as possible because this does not increase the size of the finite element model. Second, both theoretical and implemental methods to obtain exact design space sensitivities when a design space expands are proposed. In detail, a mixed artificial material is proposed to calculate design space sensitivity based on the definition of pivot phase and SIMP (solid isotropic material with penalization) method. This also keeps newly created elements from being deleted in the optimization process due to an excessive penalty term. For practical implementation, a new FE modeling technique is proposed to decouple newly created elements. This enables all design space sensitivities of the structure calculated at once, keeping their accuracy at least as good as those from FDM (finite diffence method).
Most importantly, a new concept of design space adjustment and refinement is proposed for overall efficiency. A design space adjustment consists of expansion and reduction. The expansion strategy which is called multi-layer expansion in this paper is based on the magnitude of design space sensitivities and accelerates design space expansion compared with the earlier one layer expansion. Design space refinement is designed to refine a FE model globally or locally where and when necessary and thus is very effective in obtaining a target resolution with much less number of elements. This enables us to handle large-scale problems by solving a sequence of small size problems.
To show superiority of the performance over the conventional SIMP method, various numerical verification examples are shown. One is related to the computational cost of the proposed method, and the other related to probability of getting a global optimum.
Finally, three applications are shown, a knuckle in a vehicle suspension, a simulation of bone fracture healing, and a bridge design. All these examples are three-dimensional. The knuckle example shows design space adjustment under some working conditions and effectiveness of the method for a relatively large system. The simulation of bone fracture healing is a biomechanical application using the proposed method. This shows that the evolutionary nature of the method matches well with the evolutionary growth or cell filling in a biological system. Finally, a bridge is optimized under geometrical and volume constraints and then the opimal result is compared with an existing bridge located in Shanghai, China. This illustrates a topology design is useful to obtain a conceptual design for structures under consideration.
지금까지 발표된 위상 최적화 방법론들을 살펴보면 대개의 경우 미리 설계공간을 정하고, 정해진 설계공간을 최적화 과정동안 고정된 상태로 남겨둔다. 이러한 설계공간의 고정은 최적해를 제한시킴으로써 만족스런 결과를 얻지 못하게 한다. 최근 설계공간의 확장을 가능하게 하기 위해 설계공간 최적화라 불리는 새로운 방법론이 제안되었다. 이 방법에서는 설계변수의 수가 적은 수에서부터 점차적으로 많은 수로 확장될 수 있다. 하지만, 이론적 배경과 개념의 우수성에도 불구하고 실제적인 문제에 적용하기 위해서는 여러가지 문제를 해결하여야만 하였다. 그 중 하나는 자동차나 항공기 산업에서 주로 마주치게 되는 대규모 문제에 대한 계산시간이다. 본 논문에서는 초기 설계공간 최적화 방법론을 강화하고 수정하기 위해서 여러 다양한 해결책을 제시하였다. 첫번째로, 배경 격자라고도 불리는 고정 격자법을 도입하였다. 고정 격자법은 설계공간의 형상이나 물성치가 시간에 따라 변화하는 문제에 효율적으로 적용할 수 있다. 고정 격자법의 장점은 간단한 수정을 통해 현재의 상태를 변화한 환경에 맞출 수 있다는 점이다. 이러한 점은 설계공간 최적화가 고정 격자법 하에서 가장 효율적으로 구현되게 한다. 본 논문에서는 최적화에 앞서 고정 격자를 최대한 크게 선택하였다. 이는 고정 격자의 크기가 실제 유한 요소 모델의 크기에 아무런 영향을 주지 않기 때문에 가능하다. 두번째로, 설계공간이 확장할 때 발생하는 설계공간 민감도 값을 정확하게 얻기 위해 이론적이고 실용적인 방법론들을 제안하였다. 구체적으로는 중간단계와 SIMP(solid isotropic material with penalization) 방법의 정의로부터 정확한 설계공간 민감도 값을 구하기 위해 혼합 가상 물질을 제안하였다. 또한, 이는 새로 생긴 요소가 최적화 과정 중 과도한 벌칙항으로 인해 제거되는 것을 막아주기도 한다. 제안한 방법을 이용할 경우 구조물의 모든 설계공간 민감도 값을 한번의 계산을 통해 구할 수 있을 뿐 아니라, FDM(finte difference method) 방법에 의해 구해진 결과와 동일한 수준의 결과값을 구할 수 있다. 가장 중요한 점은 전반적인 효율 향상을 위해 설계공간 조정과 세분화라는 새로운 개념을 도입하였다는 것이다. 설계공간 조정은 설계공간의 확장과 축소로 이루어져 있다. 다층 확장 기법이라 불리는 설계공간 확장법은 설계공간 민감도의 크기에 기반하고 있으며, 초기 일층 확장 기법과 비교할 때 설계공간의 확장을 보다 가속화할 수 있다. 설계공간 세분화는 필요한 때와 필요한 위치에 국부적으로나 혹은 전역적으로 유한 요소 모델을 세분화하기 위한 방법론으로, 이를 이용할 경우 대규모 문제를 일련의 소규모 문제로 바꿔 풀 수 있기 때문에 계산상의 효율을 얻을 수 있다. 기존 SIMP 방법에 대한 우수성을 보이기 위해 다양한 수치 검증 예제를 선보였다. 하나는 제안한 방법의 계산시간에 관한 것이고, 다른 하나는 전역 최적해를 얻을 수 있는 가능성에 대한 것이다. 이를 통해 기존의 방법들에 비해 보다 빨리 최적해를 얻을 수 있으며, 또한 전역 최적해를 구할 확률도 높다는 것을 알 수 있다. 마지막으로 자동차 서스펜션에 사용되는 너클과 골절시 뼈 성장 모사, 교각 설계에 대한 세가지 경우에 대해 제안한 방법을 적용해 보았다. 모든 예제는 3차원이다. 우선 너클에 대한 적용 결과는 작동환경에 따른 설계공간 조정과 대규모 문제에 대한 방법론 상의 편의성을 보여준다. 골절시 뼈 성장 모사는 생체역학적 적용예제로써, 제안한 방법의 진화적 특성이 생체시스템의 진화적 성장과 세포 분열과 잘 어울린다는 것을 보여준다. 주어진 기하학적 제한 조건 하에서 교각을 최적화 하였고, 또한 최종해를 중국 상하이에 위차한 실제 교각과 비교하여 보았다. 이 결과는 위상 최적설계 기법이 주어진 구조물에 대한 개념설계안을 제시할 수 있다는 것을 보여준다.
