A busy period analysis plays a seminal role in efficient planning and management of the system. When analysing busy periods, the length of busy period and the number of customers served is a matter of concern. As for a single server queueing system, a busy period is easily defined as the duration that a server is in service. In contrast, for a multiple server queueing system, the definition of a busy period can be varied depend upon authors. Busy periods for a multiple server queueing system is categorised Iargely into two concepts by researchers. Those are the full busy period and the partial busy period. It is widely known that the full busy period analysis is relatively easier than the partial busy period analysis. And results which deal with finite queueing system are very few. Moreover, results that present the moments of the partial busy period of finite queueing system do not exist as far as we know. Thus we analyse the partial busy period of finite M/M/c/K queueing system.
In this paper, we derived the joint transform of the length of a busy period and the number of customers served during it. Using the joint transform, we present formulae which give the first and second moments of the partial busy period. As for simple cases, explicit formulae are presented. Presented results are original and this fact makes our paper significant. Finally, verification is conducted and a relation between the length of busy period and the number of customers served is discussed briefly.
대기행렬 시스템의 효율적인 운용 계획과 운용을 위해 시스템의 성능지표(performance measure)를 분석하는 것은 필수적이다. 바쁜 기간은 서버의 관점에서 중요한 역할을 하는 성능 지표이다. 바쁜 기간 분석을 통해 얻는 척도로는 바쁜 기간의 길이와 그동안 서비스를 받는 고객수 등을 들 수 있다. 단수 서버 대기행렬 시스템의 바쁜 기간은 쉽게 시스템이 일하는 기간으로 정의할 수 있지만, 복수 서버 대기행렬 시스템에서 바쁜 기간은 서비스를 하는 서버의 대수에 따라 그 정의를 다르게 정해진다. 복수 서버 시스템에서 바쁜 기간의 분류는 크게 전체 바쁜 기간(full busy period)과 부분 바쁜 기간(partial busy period)으로 나눌 수 있다. 전체 바쁜 기간은 모든 서버가 서비스하는 순간부터 하나의 서버라도 유휴하게 될 때까지의 기간을 의미하는데 이는 모든(전체) 서버가 서비스를 하는 시간을 의미한다. 후자는 유휴한 시스템에 고객이 한 명 도착하여 서비스를 시작하는 순간부터 처음으로 다시 시스템이 유휴하게 될 때까지의 기간을 의미한다. 그런데, M(λ)/M(μ)/c 시스템의 전체 바쁜 기간은 M(λ)/M(cμ)/1 시스템의 (부분) 바쁜 기간과 확률적으로 같은 분포를 한다는 것이 잘 알려져있다. M/M/1 시스템의 바쁜 기간의 확률 분포는 비교적 잘 알려져 있으므로 전체 바쁜 기간의 분석은 상대적으로 쉽다고 할 수 있다. 또한 현실적으로 시스템에 고객이 들어갈 수 있는 공간은 유한인 경우가 많은데 기존의 연구 결과들을 살펴 볼 때 유한 용량 시스템에 관한 연구는 미미하다고 할 수 있다. 이에 본 연구에서는 유한 용량 M/M/c/K 시스템의 부분 바쁜 기간에 관한 분석을 통해 길이와 그 동안 서비스 받는 고객수의 1,2차 모멘트를 제시하고자 한다.
모멘트를 구하는 방법은 다음과 같다. 먼저, κ명에서 κ-1명 될 때까지의 길이를 의미하는 확률 변수와 그동안 서비스 받는 고객수를 나타내는 확률변수를 정의한다. 그리고, κ명이 된 후 다음 사건이 고객의 도착인지 또는 서비스 받는 고객의 이탈인지에 조건을 걸면 길이와 그 동안 서비스 받는 고객수에 관한 식을 얻을 수 있다. 이 식을 바탕으로 길이와 서비스 받는 고객수에 관한 결합 변환을 구한다. 이 결합 변환을 바탕으로 길이와 서비스 받는 고객수의 주변 변환을 얻을 수 있고, 이 주변 변환의 n계 도함수를 구해 원하는 모멘트를 얻을 수 있다. 모멘트를 얻을 수 있는 식은 계속해서 다음 항을 요구하는 형태로 나타나므로 임의의 κ에 대해 모멘트를 얻으려면 κ=K까지 전개를 해야한다. 그런데 유한용량 시스템에서 κ=K일 때 한 명 줄어들 때까지의 길이는 단순히 c개 지수 분포 서비스 중 하나가 끝날 때까지이고 이 또한 지수분포로 쉽게 정의된다. 이를 기본으로 임의의 κ에 대해 처음으로 한 명 줄어드는 순간까지의 1,2차 모멘트를 얻을 수 있는 식을 구했다. 이 때 κ=1은 부분 바쁜 기간을 의미한다. 이 결과는 본 논문에서 처음으로 제시된 식이다. 또한 위 결과를 토대로 시스템내 고객수가 κ명 되는 순간부터 0명 될 때까지 길이와 그동안 서비스 받는 고객수의 1,2차 모멘트를 얻을 수 있는 식도 제시되었다.
유한용량 M/M/c/K 시스템의 바쁜 기간에 관한 모멘트에 관한 식이 제시된 결과는 아직 존재하지 않는다. 따라서, 본 연구에서 얻은 결과들의 검증은 대기 공간을 무한대로 설정하는 방법으로 기존 연구 결과들과 비교되었고, 기존 결과와 동일함을 알 수 있었다.
본 연구에서는 제시한 방법은 3차 이상의 고차 모멘트를 얻는데도 이용될 수 있으다. 그러나 복잡도가 증가하여 명시적 형태로 쓰기 쉽지않다. 컴퓨터를 이용하면 충분히 어려움이 극복될 수 있을 것이다. 또한 본 방법은 일반적 도착과정을 갖는 대기 행렬 시스템에도 적용될 수 있을 것이라 예상한다.
