We mainly focus on the field $\mathfrak{F}$ of all modular functions of all level whose Fourier coefficients belong to cyclotomic fields. $Aut(\mathfrak{F})$ is isomorphic to the adelization of $GL_2(\mathbb{Q})$ modulo rational scalar matrices and the archimedean part. Then reciprocity law in the maximal abelian extension of an imaginary quadratic field is given as a certain commutativity of the action of the adeles with the specialization of the functions of $\mathfrak{F}$. In chapter 1, we briefly review some elementary facts about elliptic curves and adelizations. In chapter 2, we introduce the modular function field of level $N$. In chapter 3, we obtain a canonical exact sequence for a number field in idelic language. Further we state the main theorem of complex multiplication of elliptic curves and how to construct class fields using elliptic curves. In the last chapter, we discuss the structure of $Aut(\mathfrak{F})$ and the Shimura reciprocity law at the fixed points of $GL_2(\mathbb{Q})$ on $\mathfrak{H}$. We apply the Shimura reciprocity law to determine when the values of modular functions of higher level can be used to generate the Hilbert class field of an imaginary quadratic field.
본 논문에서는 푸리에 계수가 원분체에 속하는 모든 위수의 보형함수들의 체 $\mathfrak{F}$에 대해 다룬다. $Aut(\mathfrak{F})$의 구조는 $GL_2(\mathbb{Q})$의 아델화를 유리상수행렬들과 아르키메디안 부분의 곱으로 모듈로 해준 것과 동형이다. 이때 복소이차체의 최대아벨확장체에서의 Shimura 상호법칙은 $\mathfrak{F}$에 속하는 함수들의 특수값에 대한 아델작용의 어떠한 교환성으로 주어진다. 이를 설명하기 위해 타원곡선과 아델화의 기본적인 사실들과 이델언어로 기술된 유체론에 대해서 알아본다. 또 Shimura 상호법칙의 간단한 응용으로 보형함수의 특수값이 복소이차체의 힐버트체를 만들 조건에 대해 알아본다.
