We present the numerical method to solve the second elliptic problem by mixed method with $Q_1-P_1$ element. First we construct the finite element space, $Q_1-P_1$, which has a good approximation of velocity with comparatively a few degrees of freedom. Then we show that the element is well definted and we present the error estimates about the approximation solution. Next we consider the conjugate gradient uzawa method, as an umerical method to solve the problem over $Q_1-P_1$. In this time, since the problem has a indefinite system, we algebraically reduce the system to a symmetric and positive definite system (SPD system). Finally we confirm the theoretical results of $Q_1-P_1$ element by carrying out some numerical experiments.
$Q_1-P_1$ 요소를 이용해 혼합법으로 이계타원 미분방정식을 푸는 수치적 방법을 보인다. 먼저 잘 알려진 요소들에 비해 비교적 적은 미지수로 velocity에서 좋은 근사치를 가지는 유한 요소로 $Q_1-P_1$ 을 구성한다. 그리고 이 요소에서 주어진 문제의 해가 잘 결정되는 것과 그 수렴성 등을 보이고 실제 해와 근사해와의 오차에 대한 정리들을 보인다. 그리고 이계타원미분방정식을 풀기 위해 혼합식을 유도하는데, 이때 이끌어낸 혼합식은 indefinite system이기 때문에 symmetric positive definite system (SPD system)으로 만들어 준다.이것은 간단한 대수적 방법으로 가능하다. 다음으로 $Q_1-P_1$ 에서 이 문제를 풀기 위한 수치적 방법으로 공액 경사도 Uzawa 방법을 생각한다. 이때 사용되는 Uzawa알고리즘은 수정된 알고리즘인 Uzawa cinjugate direction을 이용함으로써 수렴속도를 더 높일 수 있다. 마지막으로 $Q_1-P_1$ 요소의 이론적인 결과들을 수치실험을 통해 확인해 보았다.
