The effect of numerical dissipation level of the implicit operator on the stability and convergence characteristics of the upwind point Gauss-Seidel method was studied through the von Neumann stability analysis and systematic numerical experiments. The stability analysis and numerical experiments showed that the numerical dissipation level of the implicit operator has a dramatic effect on the stability and convergence characteristics of the point Gauss-Seidel method. Based on the insights from the stability analysis and numerical experiments, efficient and robust implicit operators were developed for solving the compressible Euler/Navier-Stokes equations and the incompressible Euler/Navier-Stokes equations with Chorin's artificial compressibility.
For the solution of the compressible Euler equations, the stability analysis showed that the point Gauss-Seidel method is unstable even for very small CFL numbers when the numerical dissipation level of the implicit operator is the same to that of the explicit operator. It was found that this stability restriction is rapidly alleviated as the dissipation level of the implicit operator increases. The instability predicted by the stability analysis was further amplified as the flow problems became stiffer due to the presence of the shock waves or the refinement of meshes. It was found that for the efficiency and the robustness of the upwind point Gauss-Seidel method, the numerical flux of the implicit operator needs to be more dissipative than that of the explicit operator. From this observation, an efficient and robust implicit operator was developed by adding an artificial dissipation model combined with a pressure-based sensor to the upwind implicit operator. Numerical experiments showed that the stability and convergence characteristics of the new implicit operator are significantly better than those of other existing implicit operators for flows ranging from subsonic to hypersonic speeds.
For the solution of the compressible Navier-Stokes equations, the results of the stability analysis revealed that the point Gauss-Seidel method yields the best performance when the numerical dissipation level of the implicit operator is equivalent to that of the explicit operator. In contrast to the inviscid compressible flow problems, addition of the numerical dissipation to the implicit operator does not improve the stability characteristics of the point Gauss-Seidel method. It was shown that the most efficient and robust implicit operator can be constructed by applying a time-conservative approximate linearization method to Roe's flux-difference splitting scheme while the explicit operator employs the same splitting scheme. The computational savings over other existing implicit operators range between a factor of two and more than one order of magnitude.
For the solution of the incompressible Euler/Navier-Stokes equations, since strong solution gradients such as the shock wave do not exist, the numerical flux of the implicit operator does not need to be more dissipative than that of the explicit operator. It was shown that the point Gauss-Seidel method yields the best performance when the implicit operator is constructed by linearizing the numerical splitting scheme consistently with those of the explicit operator. When the flux-difference splitting scheme is used in the explicit operator, the implicit operator based on the same flux-difference splitting scheme provides improvement between a factor of two and more than 10 over the existing implicit operator based on the lower-upper symmetric Gauss-Seidel method.
본 논문에서는 폰노이만 안정성 해석 방법과 체계적인 수치 실험을 통해서 point Gauss-Seidel 방법의 안정성 및 수렴성 특성에 관한 내재적 연산자의 수치소산의 크기의 영향이 고찰되었다. 안정성 해석과 수치 실험 결과는 분명하게 내재적 연산자의 수치 소산의 크기가 point Gauss-Seidel 방법의 안정성 및 수렴성에 상당한 영향은 끼치는 것을 보였다. 안정성 해석과 수치 실험 결과로부터 얻어진 내용을 바탕으로 압축성 Euler/Navier-Stokes 방정식과 Chorin의 인공압축성 방법을 사용하는 비압축성 Euler/Navier-Stokes 방정식의 계산을 위한 효율적이고 강건한 내재적 연산자가 개발되었다.
압축성 Euler 방정식에 대해서, 충격파의 존재는 point Gauss-Seidel 방법의 안정성과 밀접한 관련이 있음을 보였다. 충격파가 존재하는 유동장을 효율적이고 강건하게 계산하기 위해서는 외재적 연산자에 사용된 수치 플럭스 보다 소산적인 플럭스가 내재적 연산자에 사용되어야 함을 보였다. 하지만 충격파가 존재하지 않거나 성긴 격자가 사용된 계산에 대해서는, 외재적 연산자에 사용된 수치 플럭스와 같은 수치 플럭스가 내재적 연산자에 사용될 때 가장 좋은 수렴성을 보였다. 또한 비록 선형 안정성 해석에서 매우 낮은 CFL 수에 대해서도 불안정성이 예측되었지만, 안정성 제약도 발생되지 않았다. 이러한 고찰을 통해서 본 연구에서는 내재적 연산자에 압력 지시자가 결합된 인공 소산 모형의 사용이 제안되었으며, 상대적으로 단순한 유동장 뿐만 아니라 강한 충격파가 존재하는 유동장에 대해서도 효율적이고 강건한 계산이 가능함을 보였다.
압축성 Navier-Stokes 방정식에 대해서는, 외재적 연산자와 내재적 연산자의 수치 소산 레벨이 일치할 때 가장 최적의 안정성 및 수렴성이 얻어질 수 있음을 보였다. 높은 종횡비를 가진 격자가 사용될 때, 최적의 소산 레벨을 가지는 내재적 연산자가 사용되어도 유동흐름 방향으로의 강직성이 존재하지만, 이러한 강직성은 최적의 수치 소산 레벨과 달라질 때 더욱 심해지는 것을 보였다. 압축성 Euler 방정식의 경우와 대조적으로, 내재적 연산자의 부가적인 소산은 안정성 향상에 전혀 기여하지 않는 것을 보였다. 오히려 유동흐름 방향으로의 강직성이 증대되어 안정성을 저하시킬 수 있음을 보였으며, 수렴성 또한 심각하게 저하시킬 수 있음을 보였다. 외재적 연산자에 Roe의 기법이 사용될 때, 최적의 내재적 연산자는 Roe의 기법에 대한 시간에 대해 보존적인 근사 선형화를 통해서 구성될 수 있음을 보였다. 이러한 Roe의 근사 선형화 방법은 널리 사용되고 있는 flux-vector splitting 기법에 기초한 내재적 연산자나 중심 차분 기법에 기초한 내재적 연산자 보다 계산시간 관점에서 2배에서 10배 이상의 수렴성의 차이를 보였다.
비압축성 방정식의 해에는 충격파와 같은 강한 불연속면이 존재하지 않는다. 따라서 압축성 방정식에서와 같이 효율성과 강건성을 위해 내재적 연산자가 외재적 연산자 보다 높은 수치 소산 레벨을 가질 필요가 없음을 보였다. 비압축성 유동에 대해서는, Euler 방정식과 Navier-Stokes 방정식 모두에 대해서 내재적 연산자와 외재적 연산자의 수치 소산 레벨이 일치할 때 가장 최적의 안정성 및 수렴성이 얻어질 수 있음을 보였다. 외재적 연산자에 flux-difference splitting 기법이 사용될 때, 최적의 내재적 연산자는 flux-difference splitting 기법의 선형화를 통해서 구성될 수 있음을 보였다. 이러한 최적의 내재적 연산자의 성능은 flux-difference splitting 기법 보다 소산적인 중심차분기법에 기초한 내재적 연산자의 성능과 비교되었으며, 최적의 내재적 연산자가 2배에서 10배 이상의 빠른 수렴성을 보였다.
본 연구에서 제안된 효율적이고 강건한 내재적 연산자들이 실제적이고 복잡한 형상 주위의 유동해석을 위한 해석 프로그램으로 사용되기 위해서는 몇 가지의 연구가 더 수행되어져야 한다. 첫번째로 중요한 연구는 충격파와 경계층이 동시에 존재하는 유동장 해석을 위한 내재적 연산자의 개발이다. 본 연구에서 제안된 강한 충격파가 존재하는 유동장에 대해서도 효율적이고 강건한 계산을 가능하게 하는 인공 소산 모형은 비점성 가정이 도입된 Euler 방정식에 대해서 개발되었다. 따라서 이러한 소산 모형은 경계층 영역에 대해서는 적절히 수정되어야 한다. 다음으로 본 연구에서는 난류 효과를 고려하기 위해서 Spalart-Allmaras 모형만을 고려하였다. 하지만 난류 유동해석에서의 오차의 상당한 부분이 난류 모형의 영향인 것으로 알려져 있으며, 따라서 다양한 난류 모형을 사용하여 해석 결과의 정확성을 비교, 분석하는 단계는 전산 유체 역학 분야에서는 필수적인 것으로 인식되고 있다. 따라서 본 연구의 결과의 좀 더 폭넓은 검증을 위해서는 다양한 난류 모형을 사용한 유동 해석 과정이 필수적인 것으로 판단된다. 또한 본 논문에서는 해석 및 수치 실험에서 모두 2차원 가정이 도입되었다. 따라서 제안된 기법들을 3차원의 실제적이고 복잡한 형상 주위의 유동 해석에 적용하여 검증하는 단계가 필요한 것으로 판단된다.
