Since the analytic computation of multifold probability integral arising in the field of structural reliability is practically impossible, various approximate methods such as first order reliability method (FORM) and second order reliability method (SORM) and simulation methods have been developed. In the moment methods of reliability analysis, one calculates statistical moments of a system response function up to several orders and establishes the cumulative distribution function (CDF) by using an empirical distribution system. For this purpose, the performance function must be computed for a set of well-designed calculation points, often called quadrature points or designed experimental points. Compared with FORM, the moment method has advantages that it dose not involve the difficulties of searching the most probable failure point and CDF information is readily available. The method of evaluating statistical moments using the 3^n full factorial design of experiments shows good performance in terms of accuracy and ability to treat non-normally distributed random variables. The full factorial moment method (FFMM) however becomes very inefficient because the number of function evaluation explodes with the number of random variables.
In this paper, a new reliability analysis method named response surface augmented moment method (RSMM) is proposed. It is based on the 3^n FFMM combined with the response surface method for numerical efficiency. Instead of using the inefficient full factorial DOE, a response surface is constructed initially based on the data on the axial experimental points and updated successively by adding one more experimental point selected using an influence index, until the probability is converged. It is calculated using the Pearson system and the four statistical moments obtained from the experimental data complemented by the response surface. During the update of a response surface, cross product terms can be added into the formulation. The number of updating steps is finite, since the points to be added are selected among the set of points of full factorial design. The performance of the proposed method is tested with several examples containing various types of distributions. It is shown that the probability converges early in the process and thus the numerical efficiency obtained is about one order of magnitude higher.
A design sensitivity analysis is performed for probabilistic performance measure in conjunction with RSMM and a routine for reliability based design optimization is also proposed. The sensitivity can be evaluated very efficiently using the response surface model without additional function evaluations other than those already obtained in reliability analysis. The proposed routine for reliability based design optimization is applied to several examples including tolerance design problems containing various non-normal distributions. The results in comparison with other methods show that the proposed method gives very good accuracy and efficiency.
구조신뢰성 분야에서 중요한 연구의 하나는 손상함수로부터 정의되는 손상영역에서 확률변수들의 결합 확률밀도함수의 적분으로 정의되는 손상확률의 계산이다. 해석적인 방법으로 이 적분을 수행하는 것은 현실적으로 불가능하기 때문에, 일차, 이차 신뢰도법, 몬테카를로 시뮬레이션과 같은 근사기법이 많이 개발되어 사용되고 있다. 모멘트법은 위의 방법들과 달리, 손상함수의 통계적 모멘트를 구한 후 피어슨 시스템과 같은 경험적 확률분포시스템을 이용하여 손상함수의 확률밀도함수를 구하고 이를 이용해 손상확률을 계산하는 방법이다. 일련의 모멘트법은 일차, 이차 신뢰도법의 경우와 같이 최대가능 손상점을 찾아내는 과정이 필요하지 않고 확률변수의 비정규성으로 인해 야기되는 정확도나 효율의 희생이 없다는 장점이 있으며 신뢰도 해석의 결과로 손상함수의 확률분포를 파악할 수 있다는 장점도 있다. 손상함수의 통계적 모멘트를 구하기 위해서는 잘 구성된 일련의 실험점에서 손상함수의 값을 계산해야 하는데, 확률변수의 개수를 n이라 할 때, 3^n 전조합 실험계획법이 정확성 측면에서 매우 우수함이 알려져 있다. 하지만, 이 방법은 확률변수의 개수가 증가함에 따라 신뢰도 해석에 필요한 손상함수 계산 회수가 기하급수적으로 늘어나 실용성이 떨어진다는 단점이 있다. 본 논문에서는 기존의 3^n 전조합 실험계획법을 이용한 모멘트법과 반응표면 근사를 효과적으로 결합하여 실험계획법을 이용한 신뢰도 해석의 장점을 최대한 유지하면서 그 계산 효율을 비약적으로 향상시키기 위한 방법을 제안하고 있다. 새로이 제안된 방법은 반응표면 모멘트법(response surface augmented moment method, RSMM)이라 명명되었다. 3^n 전조합 계획을 수립한 후, 평균축 상에 존재하는 2n+1개의 실험점에서만 실험을 수행한 후 이 결과를 이용해 교차항을 제외한 2차 다항식으로 반응표면을 구성한다. 실험이 이루어지지 않은 나머지 실험점에서의 자료는 반응표면 근사를 이용하여 추정하고 이 자료들을 바탕으로 손상확률을 계산한다. 실험점의 상대적 중요도를 파악하기 위하여 영향도 지수란 척도를 제안하였고, 가장 높은 영향도 지수를 가진 실험점에서 추가 실험을 수행한 후 반응표면 근사식을 갱신하여 다시 확률을 계산하게 된다. 이 과정에서 초기에는 단순한 형태였던 반응표면 근사식에 근사기저를 추가할 수 있으며 본 논문에서는 확률변수 간의 교호작용을 고려할 수 있도록 교차항을 추가하는 과정을 제안하고 있다. 일련의 과정은 구해진 손상확률이 수렴할 때까지 반복되게 된다. 수학 예제와 몇 가지 구조예제에 적용한 결과 반응표면 모멘트법의 계산의 정확도 및 효율이 매우 뛰어남을 확인할 수 있었다. 신뢰도 기반 최적설계에 본 논문에서 제안하고 있는 반응표면 모멘트법을 적용하기 위하여 손상확률 제한조건에 대한 근사 민감도 해석법을 제안하였다. 이 방법은 피어슨 시스템 및 유한차분법, 연쇄법칙을 이용한 미분을 이용하여 추가적인 손상함수의 계산 없이 민감도를 계산해 주는 방법으로, 수학적 계획법의 최적화 알고리즘과 효과적으로 연계되어 신뢰도 기반 최적설계 또는 공차합성에 사용되었다. 몇 가지 예제를 통하여 본 논문에서 제안하고 있는 확률 제한조건에 대한 민감도 해석의 정확도 및 반응표면 모멘트법을 이용한 신뢰도 기반 최적설계 과정의 타당성을 검증하였다. 신뢰도 지수법의 결과와 비교하여 본 논문에서 제안하고 있는 방법들의 정확도 및 수치효율이 매우 우수함을 보였다.
