A new hybrid Trefftz flat shell element with drilling degrees of freedom is proposed. The drilling degrees of freedom are added to the membrane port of the proposed element by introducing Allman's quadratic displacement to the boundary displacement field. To remove spurious modes and stabilize the drilling degrees of freedom, the modified hybrid Trefftz functional that contains a penalty term is also proposed. The drilling degrees of freedom with the penalty term improve the accuracy of membrane behavior and robustness to mesh quality. Moreover, Poisson's locking comes from Allman's quadratic displacement is restrained by hybrid Trefftz functional, naturally. Translational and rotational displacement field for the bending part is approximated by cubic and quadratic polynomials and the thick plate theory (Mindlin-Reissner's theory) that can represent transverse shear deformations is considered. Additional degrees of freedom due to hierarchical approximation functions are eliminated by equicalence conditions of two transverse shear strain fields; one derived from a displacement-strain relation, and the other is assumed independently using the equilibrium equations and the constitutive equations. Through the higher order approximation and the thick plate theory, improved accuracy and robustness to mesh quality and the thickness-tolength ratio are obtained.
A hybrid Trefftz flat shell element is constructed by combining membrane and bending stiffness. To treat the warpage of a quadrilateral element, force paris and moments are added by transformation method. Porposed element gives better results than existing hybrid Trefftz elements. Because both of the two parts, membrane and bending part, are derived from the hybrid Trefftz functional consistently, the proposed element can have arbitrary polygon shapes including triangles and quadrilaterals. Furthermore, it can be used with conventional finite elements without any constraints. Numerical tests on the proposed element show that the polygonal shell element can be used in modeling structures with triangular and quadrilateral elements and gives agreeable results.
하이브리드 트레프츠 방법에 근거하여 6자유도를 가진 선형 평면 셸 요소를 제안하였다. 평면 요소의 경계 변위장에 Allman의 2차 변위장을 도입하여 회전 자유도를 추가하였으며, 가상 모드를 제거하고 회전 자유도를 안정화시키기 위해 하이브리드 트레프츠 범함수에 벌칙항이 추가된 수정된 범함수를 제안하였다. 이를 통해 요소의 평면 거동이 향상되었으며 요소의 품질에 따른 해석 결과의 강건성이 좋아졌다. 또한, 하이브리드 트레프츠 범함수는 Allman의 변위장에 의해 발생하는 포아송 구속 현상을 제거해 주었다. 평판 요소는 횡방향 전단 거동을 고려하여 Mindlin-Reissner의 두꺼운 판을 표현할 수 있도록 횡방향 병진 변위와 회전 변위의 차수를 각각 3차와 2차로 근사하였다. 고차 변위장으로부터 발생하는 추가적인 자유도들을 소거하여 전통적인 유한 요소와 같은 절점당 자유도를 갖도록 하기 위해 요소의 변에서 새로운 전단 변형률장을 독립적으로 근사하고, 이를 평형 방정식과 구성 방정식으로부터 유도된 전단 변형률장들과의 관계를 활용하였다. 고차의 근사를 통해 요소의 정확성과 수렴성이 기존의 요소에 비해 향상되었으며, 요소의 두께나 격자의 왜곡에 대해서도 강건한 결과를 보였다. 막 강성과 굽힘 강성을 조합하여 평면 셸 요소를 구성하고 4절점 요소의 평면 왜곡을 보정하기 위해 짝힘과 모멘트를 추가하는 방법을 수정하여 제안하였다. 제안된 요소는 기존의 요소에 비해 향상된 결과를 보였으며, 격자의 왜곡에도 좋은 결과를 주었다. 또한, 요소가 하이브리드 트레프츠 변분 원리로부터 일관되게 유도되어 3각형과 4각형을 포함한 일반적인 다각형 형상이 표현 가능하며, 전통적인 유한 요소와도 아무런 제약 없이 함께 사용될 수 있다. 제안된 수식화를 통해 개발된 다각형 형상의 요소를 3각형, 4각형 요소와 함께 사용하여 해석해본 결과 만족할 만한 결과를 얻었으며, 이를 통해 해석의 성능을 저해하지 않으면서도 유한 요소 모델링 과정이 보다 수월해 질 것을 기대할 수 있었다.
