The newly developed complex network theory is extremely essential to describe the various real world phenomena within the extended scope of the statistical physics. Because there exists huge complexity in patterns of interactions between enormous number of individuals in the real world systems, these interactions cannot be considered as the bonds on the regular lattice which have been used to deal with to understand magnetism in materials. Instead, they have to be considered as complex connections on a generalized lattice called the complex network. Since the pioneering works observing scale-free networks in abundant real-world systems, the studies of complex network has been accelerated in recent years because of its promising application to prediction of phenomena occurring in real world. This thesis addresses our recent studies on the structural and dynamical characteristics of complex networks and their applications to modeling of fracture cascade and clustering of stocks in the stock market.
First we find out the universal skeleton structure of complex networks that plays a very important role in communications between vertices. The skeleton of a complex network is defined as the special spanning tree maximizing the total weight, given by an edgebetweenness centrality (edge-BC), an average traffic, on each edges. For various scale-free networks, it turns out that the skeleton shows the characteristics of the scale-free tree and can be regarded as the communication kernel handling a large part of the communication traffics. Moreover, in scale-free networks, while the skeleton structure has the universality of the power-law BC distribution with the exponent 2.0, we find that either the fast decaying or the bell-shaped length distribution of the additional shortcuts on the skeleton discriminates the known two different categories classified by the BC exponent, which gives very intuitive explanation for the difference of the two.
In homogeneous networks, although the skeleton structure is not communication kernel, we find that the shortest path topology is still correlated with the local structure of the networks. In the Erdos-Renyi (ER) network model, we investigate the structural properties of the skeleton structure. We find that the skeletons present very inhomogeneous structure in contrast to the homogeneous structure of the original ER networks. It turns out that the structure of the skeleton changes drastically as the edge density of the ER network increases, scale-free with a cutoff, scale-free, to star-like topology. These cannot be possible if the weights are randomly distributed, which imply that topology of the shortest path is correlated in spite of the homogeneous topology of the ER network.
Fracture spreading phenomena on complex networks is one of main issues in the complex network theory because their behavior on complex network is very different from that on the regular lattices. We investigate the failure characteristics of complex networks within the framework of the fiber bundle model subjected to the local load sharing rule in which the load of the broken fiber is transferred only to its neighbor fibers. Although the load sharing is strictly local, it is found that the critical behavior belongs to the universality class of the global load sharing where the load is transferred equally to all fibers in the system. From the numerical simulations and the analytical approach applied to the microscopic behavior, it is revealed that the emergence of a single dominant hub cluster of broken fibers causes the global load sharing effect in the failure process.
Finally, we study the application on the stock markets by considering the weighted network of stocks constructed by the correlations of stock price changes of individual stocks in US stock markets. We propose an improved method to identify stock groups. By filtering out the marketwide effect and the random noise, we construct the correlation matrix of stock groups in which nontrivial high correlations are found. In the filtered correlation matrix, we successfully identify the multiple stock groups without any extra knowledge of the stocks by the optimization of the matrix representation and the percolation approach to the network between stocks. These methods drastically reduce the ambiguities in finding stock groups using the eigenvectors of the correlation matrix and do not require any prior knowledge of individual companies.
최근 새로이 도입된 복잡계 네트워크 이론은 실제 세상에서 일어나는 다양하고 복잡한 현상을 통계물리학의 범주에서 이해하고 기술하는데 필수적인 이론으로 각광받고 있다. 실제 세상에서 관찰되는 개체간의 상호작용의 패턴은 매우 복잡하기 때문에, 이제껏 물질의 자기현상을 이해하기위해 다루어 왔던 규격화된 살창구조는 실제 세상의 현상을 이해하는 데는 도움이 되지 않는다. 대신, 이러한 복잡한 현상들은 일반화된 살창구조라고 할 수 있는 네트워크위에서 기술되어져야만 그 이해가 가능하다. 실제 세상에 존재하는 네트워크들이 무척도 네트워크라는 특이한 복잡계 네트워크라는 기념비적인 발견 이후로, 실제 세상에서 일어나는 복잡한 현상의 이해를 위해 최근 수년간 복잡계 네트워크에 대한 연구가 가속되어 왔다. 본 박사학위논문에서는 복잡계 네트워크의 구조및 동역학, 그리고 네트워크위에서 일어나는 파괴연쇄현상의 상전이 특징과 주식 네트워크에서 대한 발전된 클러스터링 방법에 대해 연구하였다.
복잡계 네트워크위에서 노드들 사이의 정보전달에 대해 핵심적 역할을 하는 뼈대구조를 찾아내고 그 보편성을 밝혀내었다. 복잡계 네트워크의 뼈대구조는 각 링크에 걸리는 트래픽의 합이 최대가 되도록 최적화된 신장트리로서 정의하였다. 다양한 종류의 실제 무척도 네트워크들에 대해서 찾아낸 뼈대 구조가 트래픽의 대부분을 처리하는 커널로 간주될 수 있음을 확인하였다. 그리고, 찾아낸 뼈대 구조들의 betweenness centrality 분포가 원래 네트워크에 관계없이 보편 지수 2.0 을 갖는 멱함수 법칙을 따름을 밝혀내었다.
한편, 뼈대 구조에 포함되지 않은 링크들의 성질로부터 그 링크들의 길이 분포가 종형인지 단조감소 하는지에 따라 실제 존재하는 네트워크들를 두 가지의 군으로 분류해 내었다. 한편, 무척도 네트워크가 아닌 균일한 네트워크에서는 이러한 뼈대구조가 정보전달 커널이라 볼 수 없다. 그러나, 뼈대를 구성하는 정보전달의 최단 경로 구조는 여전히 네트워크의 로컬구조와 상관관계를 갖음을 밝혀내었다. Erdos-Renyi 네트워크 모델의 뼈대구조는 링크의 밀도가 증가함에 따라 degree 의 제한이 있는 무척도 네트워크로 부터 완전한 무척도 네트워크, 결국에는 중앙집중형의 star-like 네트워크로 변한다. 이러한 불균일한 뼈대구조가 관찰되는 것은 트래픽양이 링크에 랜덤하게 분포해서는 불가능하고, 따라서 뼈대구조를 이루는 최단 경로 구조는 원래 네트워크의 균일한 구조에도 불구하고 상관성을 갖음을 밝혀내었다.
그리고, 복잡계 네트워크의 중요한 연구주제중 하나인 네트워크위에서의 노드 파괴현상의 전파과정을 섬유의 연쇄적 끊어짐을 연구하는 데 쓰였던 fiber bundle model 을 사용하여 연구하였다. 노드가 하나 파괴될 때 그 노드에 걸리는 부하가 이웃한 노드로 전파되는 local load sharing 규칙을 적용하면 규격화된 살창구조에서 연구된 결과와 매우 다른 결과를 보여준다. 복잡계 네트워크에서는 local load sharing rule 을 사용하더라도 네트워크가 완전 붕괴되는 임계점 근처에서의 상전이 특성이 네트워크 종류와 상관없는 보편성 군을 가짐이 밝혀졌고, 그 보편성 지수들이 부하가 계 전체로 나누어 지는 global load sharing 규칙을 적용할 때 보이는 상전이 지수들과 완전히 같음을 밝혀내었다. 미시적인 관찰을 통해, 규격화된 살창구조에서의 결과와 완전히 다른 특이한 상전이 특징은 복잡계 네트워크에서 붕괴가 시작되는 초기에 거대한 부서진 노드 클러스터의 출현으로부터 야기됨을 보였다.
마지막으로 주가 변화의 상관계수로 부터 정의되는 주식 네트워크에서 노드들을 클러스터링하는 방법을 연구하고 좀더 발전된 방법을 제시하였다. 주가 변화의 상관계수에 존재하는 노이즈 중에서 계 전체에 영향을 미치는 marketwide 효과를 주는 가장 큰 고유치의 고유벡터를 계산하고 이해하였다. Marketwide 효과와 랜덤 노이즈의 제거를 통해 강한 상관계수로써 묶여 있는 주식 군의 존재를 밝혀내고, Monte-Carlo 방법과 Percolation 방법을 사용하여 각각의 군을 성공적으로 찾아내었다. 이러한 방법은 기존의 고유 벡터를 이용하여 주식 군을 찾는 방법에서 발생하는 애매함을 줄이고 개별 주식에 대한 사전 정보를 필요로 하지 않는 장점을 가진다.
