In the simulation of the sheet metal forming processes, contact treatment between the tool and the sheet is one of the most important factors because the blank deforms mainly by a contact force. However, errors in the contact treatment of FE-Analysis are inevitable because of the discretization of the continuous sheet into the finite elements. Furthermore, as a contact state of each node in the elements can change immediately, convergence of analysis is dependent on a step size of numerical analysis. If meshes are generated finely, this sudden change of the contact nodes may not affect the result of the analysis severely.
In this study, the continuous contact treatment for the mesh of the sheet metal is dealt with in order to improve the accuracy and convergence related to the sudden change of the contact state. The contact regions between the tool and the sheet change continuously in the real forming stage. Therefore, the smoothly changing contact region should be calculated from finite meshes. In the proposed contact treatment, the contact region and the penetration depth are calculated with an analytic surface modeled by NURBS based on the current nodes of the element. Contact pressure in relation with the penetration depth, geometry of the sheet and the material properties is evaluated at all integration points. This contact force proportional to the contact area is imposed as a nodal force on each node of the element.
If all of the elements are considered by the scheme for continuous contact treatment, the calculation time becomes much slower. Because the check for contact and penetration is done by using the NURBS surface in this paper, it is clear that much more time for contact treatment is spent. From this reason, it is necessary that the elements which have higher possibility to contact with the die are chosen for the continuous contact treatment adaptively during finite element analysis. In this paper, the smoothness control factor is defined based on the increment of energy for bending deformation. This calculation can be done very fast because the current increments of rotational degrees of freedom are already determined by the iteration scheme.
It is difficult that the real state of forming process is described in simulation because the surfaces of the die and sheet are represented by finite elements. In this paper, the NURBS surface is used to describe the virtual surface. If a certain mesh is selected by smoothness control factor, the virtual surface is generated from the geometric information of the adjacent mesh.
The coordinate of a virtual surface is calculated by evaluating the coordinate of the NURBS surface. If three-dimensional coordinates at a certain point are calculated, the penetration depth between the virtual node and the mesh of the die can be measured. Because the penetration is checked only at the given coordinates, the evaluation time is not significant for the NURBS surface. If the penetration depth is calculated once, the contact pressure should be estimated based on the penetration depth, the radius of curvature, material properties of the sheet and so on. In this paper, the distribution of the contact pressure at each node of the element is stored from the penalty force as a function of a penetration depth. This penetration depth can be obtained from the first iteration after contact check. The contact pressure can be obtained from the converged penalty force at the coincident node. This contact pressure can be thought to be calibrated by deformation history at a given material because this value is updated at every numerical step.
In order to impose this contact pressure as a contact force to the element, the integration over the region of the element is done. The number of integration points can be selected arbitrarily by the user because integration points for calculating the contact force are independent of integration points for calculating the element stiffness. By the continuous contact treatment, the additional normal force, is applied at every node which is contacting with the tools. Therefore, the additional friction force should also be imposed at the same node.
For the application of the proposed scheme, four examples of the sheet metal forming processes are simulated by using the continuous contact treatment. At every example, the history of the punch force becomes very smooth even though the mesh of the blank is coarse. The oscillation of the punch force decreased remarkably if the continuous contact treatment is applied to the analysis. In bending-dominant deformation, the deformed configuration can be influenced mainly by the contact treatment scheme. In the hemi-spherical punch forming process, the coarse mesh cannot predict the final deformed shape when the continuous contact treatment is not considered. In the unconstrained cylindrical bending process, the contact angles are measured more exactly by numerical calculation. Generally, the calculation time increases up to about 5%. However, the speed of numerical analysis becomes faster in case of the simulation of sheet hydroforming. In order to apply the scheme to the complicated example, the cross member in automotive vehicles is simulated using the contact scheme and Global-Local zone analysis. As a result, the maximum plastic strain can be predicted more accurately with coarse mesh.
금형과 소재 사이의 접촉 현상을 정확히 묘사하기 위한 연구는 오랫동안 진행되어 왔다. 금형과 소재를 삼각형이나 사각형 등의 격자로 표현하고 각각의 침투 여부를 체크하여 불침투 조건을 부과하는 것이 일반적인 접촉 처리의 흐름이다. 이 과정에서 접촉 여부를 빨리 체크하기 위한 알고리즘과 계산된 침투량에 대해서 불침투 조건을 부과하기 위한 다양한 효과적인 연구가 진행되어 왔다. 그러나, 연속체로서의 소재나 금형을 유한요소로 표현함으로써 발생하는 필연적인 오차를 줄이기 위한 연구와 각 해석 스텝(step)이 진행됨에 따라 접촉 절점이나 접촉 영역을 연속적으로 처리하지 못하는 문제에 대한 연구가 필요하였다.
본 논문은 금형과 박판 사이에 발생하는 접촉 현상을 정확히 묘사하고 접촉 현상의 갑작스러운 변화를 줄여 해석의 정확성과 수렴성을 개선시키기 위하여 연속 접촉 처리 알고리즘을 제안 및 검증하고 다양한 해석 예제들에 적용하여 보았다.
본 논문에서 제안될 연속 접촉 처리를 기존의 유한요소해석 알고리즘에서 추가적으로 실시되는 것으로 모든 요소에 대해서 제안된 알고리즘을 수행하면 계산시간의 증가가 필연적이다. 그러므로 계산의 효율성을 증대시키기 위하여 실제로 금형과 접촉이 진행되고 있는 소재 격자를 선정하기 위한 효과적인 요소 선택식을 제안한다. 본 조건식은 쉘(shell)요소의 회전 자유도의 증분량을 기본으로 하며 증분량이 클수록 굽힘 변형이 주로 발생하는 요소라 할 수 있다. 이러한 요소는 실제로 금형과 접촉이 발생하여 굽힘 변형이 주로 발생하는 요소에서 발생하므로 효과적으로 해당 요소를 선정할 수 있다.
이렇게 선정된 요소에 대해서 연속 접촉 처리를 수행하며 이웃한 요소들의 기하학적 형상으로부터 4 by 4 절점을 추출하고 NURBS 곡면을 생성한다. 이러한 부드러운 곡면인 NURBS 곡면과 금형의 격자 사이에서 침투량을 계산한다. 이러한 침투량 계산의 효과적인 수행을 위해서 해당 요소의 가상의 절점을 생성하고 해당 절점에서만 침투량을 계산하므로 빠른 계산이 가능하다. 또한, 이러한 가상 절점의 위치는 가우스(Gauss) 적분점과 일치하게 선정하므로 적분 시에도 빠른 계산을 수행할 수 있다. 이러한 가상 절점은 강성 행렬을 구성하기 위한 적분점과는 별도로 구성될 수 있으므로 사용자에 의해 조정될 수 있으며 본 논문에서는 9개 혹은 25개의 가상 절점을 사용하였다.
이렇게 계산된 침투량으로부터 가상의 접촉 압력을 추정하여야 한다. 침투량에 대응하는 접촉 압력을 결정하기 위하여 이전 과정에서 구한 해석 결과인 수직 방향의 응력을 적용한다. 이때, 일정 범위 내에 있는 절점에 대한 접촉 압력의 분포값에 대해서 침투량의 차이를 최소로 하는 절점을 선형 보간을 통해서 정확하게 계산한다. 이렇게 계산된 모든 가상 절점의 접촉 압력을 평가하고 적분을 통하여 각 해당 요소의 절점에 추가적인 외력항으로 적용한다. 본 과정을 각 축차마다 계산하여 적용하게 되며 일정 오차 범위 내로 수렴한 결과는 실제 발생하는 접촉 영역을 정확히 평가하여 계산된 결과라 할 수 있다. 이런 과정을 박판 성형 공정의 전 과정에 대해서 적용하게 되면 각 해석 스텝 사이에서 발생하는 접촉 처리를 연속적으로 처리하여 갑작스러운 접촉의 변화로 인한 외력항의 변동이 크지 않아 해석의 결과로 구해지는 성형 하중이 연속적으로 분포하게 된다.
본 논문에서는 위에서 제안한 연속 접촉 처리 알고리즘을 모두 4가지 예제들에 적용하여 보았다. 실제로 본 알고리즘을 적용하기 전의 유한요소해석에서는 예측할 수 없었던 변형 형상을 정확히 예측할 수 있었으며 두께 변형률의 최대값 예측에서도 향상된 결과를 보였다. 또한, 금형과 소재 사이에서 발생하는 접촉 현상을 정확히 묘사할 수 있으므로 접촉 각도의 측정 및 스프링 백 현상의 예측도 향상된 결과를 보였다. 해석 시간의 관점에서는 일반적으로 5% 범위내로 해석시간이 증가하지만 박판 하이드로포밍 공정과 같은 수렴성이 떨어지는 예제에 대해서는 약 12%의 해석시간이 단축되었다.
일반적으로 소재를 상당히 작은 격자로 나누어 해석하게 되며 자동적으로 연속적인 접촉을 고려하게 되지만 해석 시간의 관점에서는 좋지 않다. 그러므로 본 논문에서 제안한 연속 접촉 처리를 큰 요소들로 이루어진 격자에 대해서 적용하게 되면 해석 시간의 큰 증가 없이도 작은 격자를 이용한 해석결과와 유사한 결과를 얻을 수 있는 장점이 있다.
