This paper introduces Material Cloud Method (MCM), as a new approach for topology optimization.
Since the appearance of the pioneering work of Bendsoe and Kikuchi, various researches for the topology optimization method have been carried out and this method has been successfully applied into industrial designs. The most popular approach of the topology optimization method is a density-based approach. In this approach, the design variables are the densities of all elements in an initially defined design domain. Though this approach is very simple and in good harmony with FEM, several complications have been pointed out. The most arduous one of them.is that the design domain cannot be changed during the optimization procedure. Due to this limitation, the final optimal solution is highly dependent on the initial design domain and the computational costs are excessively expensive.
In MCM, an optimal structure can be obtained by manipulating the sizes and positions of material clouds, which are material patches with finite sizes and constant material densities. The optimal distribution of material clouds can be obtained using fixed background finite element meshes. In the numerical analysis procedure, only active elements, where more than one material cloud is contained, are treated. Optimal material distribution can be element-wise extracted from the distribution of material clouds.
With MCM, an expansion-reduction procedure of design domain can be naturally realized through movements of material clouds, so that a true optimal solution can be found without any significant increase of computational costs. It is also shown that a clear material distribution with narrow region of intermediate density can be obtained with relatively fast convergence.
The existence of optimal solution(s) is proven using a compact set theory to show the mathematical rigorousness of this new approach. The proof-procedure for a changeable design domain is completely new.
To show the superiority and generality of MGM, the optimal results for various 2D and 3D engineering design problems are shown and compared with those of the traditional approach.
본 논문은 위상최적설계를 위한 새로운 접근법인 재료조각법을 제안한다. Bendsoe와 Kikuchi의 선구적 연구 이래로 위상최적설계를 위한 다양한 연구가 수행되어오고 있으며, 위상최적설계기법은 산업계의 다양한 설계과정에 성공적으로 적용되고 있다. 위상최적설계기법 중 가장 보편적으로 사용되는 접근법은 밀도분배법이다. 이 기법에서 설계변수는 초기 설정된 설계영역안의 모든 요소내의 밀도이다. 이 기법은 매우 간단하고 유한요소법과 잘 조화를 이룸에도 불구하고, 몇몇 어려운 점이 지적되고 있다. 해결되어야 할 가장 곤란한 문제는 설계영역이 최적화 과정 중에 변할 수 없다는 것이다. 이 한계 때문에 마지막 최적 설계안은 초기 설계영역에 강하게 의존하고 계산비용도 불필요하게 커지게 된다. 재료조각법에서는 최적설계안이 재료조각의 크기와 중심위치를 변경함을 통해 획득된다. 여기서 재료조각이란 유한크기를 갖고 일정한 재료밀도를 갖는 재료덩어리를 의미한다. 재료조각의 최적분포는 고정된 유한요소배경격자를 이용하여 획득된다. 수치적 해석과정에서 재료조각이 포함된 요소들만이 계산과정에 포함된다. 최적재료분포는 재료조각의 분포로 부터 요소단위로 추출된다. 재료조각법에서는 재료조각으 움직임을 통해 설계영역의 확장 및 축소 과정이 자연스럽게 구현된다. 따라서 계산시간의 큰 증가없이 최적해를 구할 수 있다. 중간값의 밀도를 갖는 영역이 거의 존재하지 않는 명확한 재료분포가 상대적으로 빠른 수렴성을 가지고 획득될 수 있다. 새로운 접근법인 재료조각법의 수학적 엄밀함을 보이기 위해 컴팩트 집합 이론을 이용하여 최적해의 존재성이 증명된다. 가변설계영역에 대한 증명과정은 완전히 새로운 연구결과이다. 재료조각법의 우수성과 일반성을 보이기 위해 2차원 뿐만 아니라 3차원 공학설계문제에 대한 최적설계결과가 기술되며, 기존 밀도분배법의 결과와 비교된다.
