Generally, robust optimization problems are trade-offs between expected performance (i.e., expected cost) and variability measures, resulting multiobjective problems. While various robustness measures have been proposed to account for robustness, efforts to theoretically analyze the properties of robustness measures have thus far rarely been carried out, despite that such work is important to obtain desirable robust solutions. This thesis aims at investigating the properties of robustness measures, namely, economic robustness measure and technical robustness measure, according to the characteristic of uncertainties and suggesting a proper robust optimization model for engineering design, finally.
For economic robustness measures, monotonic functions are recommended because economic robustness should focus on reducing or increasing economic terms as much as possible for realization of any model uncertainty. On the contrary, even functions are utilized for technical robustness because technical robustness should focus on reducing variance among technical terms as small as possible.
The range of robust model parameters is diagnosed for robustness measures and the graphical representation of meaningful parameter ranges is clearly defined with theoretical explanation. It was noted that the use of probability and a target value causes ill-conditioned natures of partial mean so that a modified formulation is proposed. The modified model is identified with the robust worst-case model for the proposed range of a model parameter in discrete domain.
For technical robustness, half interval among several even functions is selected in this study because it is linear and consistent with worst-case robustness measure.
Finally, the robust optimization model is proposed such that its objectives consist of expected cost, economic robustness measure, and technical robustness measures. Pareto optimal subset condition is redefined to consider technical robustness together. For an attempt to obtain ranges of objectives, the method to estimate a nadir objective vector is proposed. After obtaining ranges, the multiobjective robust optimization problem is solved by lexicographic method. Among many robust solutions, we propose to investigate the distance of points to an ideal objective vector so that the closest point is decided as a final solution.
본 연구에서는 공학 설계 디자인의 강건 최적화를 위한 모델과 해를 구하는 방법을 제안하였다. 결정 변수(decision variables)들은 경제적인 것과 기술적인 것으로 분류하여 각각에 대한 강건성 척도를 심도있게 다루었다. 각 장은 강건성 척도(robustness measure)의 특성, 강건하고 경제적인 최적화를 위한 개선된 강건성 척도 제안, 경제적, 기술적 강건성을 모두 고려한 최적화 모델의 제안, 의사결정 단계 등으로 구성되어 있다.
제 3장에서는 경제적 강건 최적화에 효율적인 부분 평균(partial mean) 의 매개변수인 목표값(target value)를 결정하는 체계적인 방법이 제시되었다. 강건 부분 평균 모델(robust partial mean model)에서 경제적으로 의미있는 해를 얻을 수 있는 매개 변수 범위를 구하고, 이것을 그래프를 바탕으로 이론적 설명과 함께 제시하였다. 주어진 매개변수 범위에서는 최악의 경우값(worst-case value)을 강건성 척도로 사용하여 얻어진 해들이 강건 부분 평균모델에서 얻어진 해들에 포함된다. 최적의 목적값(target value)을 정하기 위해 강건 부분 평균 모델에서 세 개의 의미있는 매개 변수 범위를 조사하였다. 그 결과, 최악의 경우 분석(worst-case analysis)에 의해 얻어진 최소의 최악의 경우값(worst-case value)을 목표값으로 사용하는 것이 경제적으로 의미있는 강건한 해를 얻을 수 있었다. 제안된 모델은 정유 생산 계획 모델에 적용되어 뛰어난 효율성을 보였다.
제 4장에서는 부분 평균이 불량 조건(ill-conditioned)을 가지는 점에 착안하여 이것을 극복할 수 있는 개선된 모델을 제안하였다. 부분 평균 모델에 사용되는 확률이나 목표값은 이러한 불량 조건의 원인으로 생각된다. 새로 제안된 모델은 N개의 강건성 척도들과 1개의 기대값으로 구성된 N+1개의 목적함수를 갖는다. 이 모델의 특징은 부분 평균과는 달리 확률을 사용하지 않는다는 것이다. N개의 강건성 척도들의 순서를 정하기 위해 목표값에 따른 하한값(lower bound)의 성질을 조사하였다. 여기서 하한값은 다중으로 존재하게 되는데, 이러한 다중성은 엄격하게 단조 증가(strictly monotonic) 함수인 기대값에 의해 해결될 수 있다. 하한값을 정하기 위한 의미있는 목표값의 범위는 가능한 작은 최악의 경우값과 추계적 최적화(stochastic optimization)에서 얻어진 가장 큰 시나리오 값 사이로 제안하였다. 또한, 이 범위의 목표값을 사용해서 얻어진 강건해는 강건 최악 모델(robust worst-case model)을 사용해서 얻어진 해들과 같다. 여기서 제안된 모델은 공학 예제들에 적용되어 강건해를 얻는 데 좋은 결과를 보였다.
제 5장에서는 공학 설계 디자인의 특징인 경제적인 것과 기술적인 것을 다 고려하는 강건 최적화 모델을 제안하였다. 기술적 강건성을 고려하기 위해 Pareto 최적 부분집합 조건(Pareto optimal subset condition)을 다시 정의하였다. 강건 최적화 모델은 기대값, 경제적 강건성 척도, 기술적 강건성 척도 세 부류로 이루어져 있고, 이 중 기술적 강건성 척도는 관심있는 기술적 변수의 개수에 따라 여러 개가 고려될 수도 있다. 단조 함수인 최악의 경우값(worst-case)이 경제적 강건성 척도로, 우함수의 특징을 가진 반구간(half interval)이 기술적 강건성 척도로 각각 사용되었다. 목적 함수들의 구간을 구하기 위하여 사전식 방법(lexicographic method)을 이용하여 최하 목적함수 벡터(nadir objective vector)를 구하는 방법을 제안하였다. 최종해(final solution)로는 각각의 목적함수를 표준화(normalization) 한 후, 이상적 목적함수 벡터(ideal objective vector)에 제일 가까운 것을 제안하였다. 또한, 이 모델에서 얻어진 강건해들은 2차원 공간에서 경제적 강건성 척도와 기대값이 단위가 같다는 점에 착안해, 이들을 각각 x, y축으로 하여 그려진 그래프에 표현되었다.
