Membrane wrinkling problems are formulated by geometrically nonlinear finite element method using convected coordinates. The membrane structure which is initially in under-constrained state cannot resist compressive stresses and experiences out-of-plane deformation to avoid occurrence of compressive stresses. When a membrane is in the state of wrinkling, it is crucial to determine wrinkling direction and corresponding stress state for the analysis of wrinkled membrane.
Tensile strain energy is defined to correctly and simply evaluate the wrinkling directions based on the assumption that wrinkles are aligned to maximize this tensile strain energy. This scheme finds the direction of maximum tensile energy over the range of a positive strain and updates the stresses taking into account the wrinkling direction. This approach requires neither extra parameter nor kinematic assumption to predict wrinkle orientation.
Pseudo-dynamic method is introduced to initiate Newton-Raphson solution procedures for the analysis of under-constrained membranes. It is also shown that the introduction of the pseudo-dynamic method makes Newton-Raphson procedure give the stable and convergent solution without requiring an application of initial stresses.
Several benchmark problems are analyzed to demonstrate the effectiveness and accuracy of the proposed formulation, and a space inflatable reflector is also analyzed to evaluate the effects of material anisotropy, initial shape and inflation pressure on the surface quality. For a given final surface shape and accuracy of precision reflector, it is usually required to determine the initial shape, thickness, pressure, etc. in order to obtain required shape. To facilitate this design process that is a kind of inverse problem, more systematic way is necessary.
With the successful analysis of the rather intuitive determination of wrinkle orientation it is necessary further to derive more theoretical basis for this tensile strain energy.
본 연구에서는 주름이 발생하는 대변형 박막을 질점 좌표를 사용하여 박막의 거동을 기술하고, tota Lagrangian방법으로 유한 요소 수식화하여 비선형 박막 구조물의 기계 구조적 특성을 분석하고 팽창형 우주 안테나에 적용하였다. 인장 탄성 에너지 개념을 도입하여 주름 방향 예측 및 주름 인장 응력을 계산하는 방안을 제시하였고, 주름진 영역에서 응력과 강성 행렬 계산 시의 구성 방정식의 탄성 계수를 분리함으로써 주름 영역에서 강성 행렬의 특이성으로부터 야기되는 수치적인 문제를 해결하였다. 또한 준 동적 해석법을 도입하여 초기 응력이나 초기 변위를 가정하지 않고 Newton-Raphson 축차법을 수행할 수 있는 방안을 제시하였다.
주름 발생 영역에서의 주름 방향 예측 및 이에 따른 주름 인장 응력 계산이 해의 정확성 및 수렴성에 큰 영향을 미치므로, 주름 방향을 보다 효과적으로 계산하기 위한 방법을 제시하였다. 주름은 탄성 에너지가 최대가 되는 방향으로 발생한다는 고찰을 이용하여 인장 탄성 에너지(tensile strain energy)를 정의하고 이를 최대화하는 방향을 계산함으로써 주름 방향을 예측하고 주름 방향에 따른 주름 응력을 계산하였다. 이 방법은 주름 방향을 예측함에 있어 탄성 에너지만을 사용함으로 재료의 이방성, 등방성에 관계없이 모두 적용할 수 있다. 이방성 재료의 주름 방향을 계산하기 위해서 기존의 방법들은 주름 발생 후에는 주름 방향이 변하지 않는다는 기구학적(kinematic) 가정을 하거나, 주름량을 표현하는 추가적인 변수를 도입하여 비선형 연계 방정식을 구성하여 계산하였으나, 이 논문에서 제시한 탄성 인장 에너지를 이용한 방법은 이러한 가정이나 추가 변수를 도입하지 않고 주름 방향을 계산하는 장점이 있다. 본 논문에서 제시한 해석 방법을 검증하기 위하여 해석 해 및 참고 문헌과 비교 가능한 예제를 선택하여 비교하였으며, 해석해 및 참고 문헌의 결과와 일치함을 알 수 있었다.
응력이 가해지지 않은 박막은 박막 면의 수직 방향 강성을 갖고 있지 않음으로, 강성 행렬이 특이성(singularity)을 갖게 되고 해가 불안정하게 된다. 즉, 초기 응력이 없는 상태의 박막은 강성 행렬이 특이성을 갖게 되어 Newton-Raphson 축차법을 이용한 해석 과정을 시작할 수가 없다. 해의 축차 진행을 위해서는 일반적으로 임의의 초기 응력이나 변위를 가정하여 가상의 강성을 부여하여 해를 진행시키나, 초기 응력 값에 따라 해의 수렴 여부가 결정되며 수렴에 필요한 축차 수 또한 크게 변화함을 알 수 있었다. 이 논문에서는 준 동적 해석법(Pseudo-dynamic analysis)을 적용하여 근사 해를 구한 후 Newton-Raphson법으로 전환하여 축차 해석을 진행하여 초기 응력이나 변위를 가정하지 않고 축차 해석을 자동적으로(self-starting) 시작할 수 있었으며, 초기 응력 값에 무관하게 항상 수렴된 해를 구할 수 있었다.
이 논문에서 제시한 주름 발생을 고려한 박막의 대변형 해석 방법을 전체 성능이 주름 발생 정도에 크게 의존하는 팽창형 우주 안테나에 적용하고, 주름 영역을 최소화하기 위한 구조물의 초기 형상 및 압력 하중 조건, 재료의 이방성 특성 등에 대하여 고찰하였다.
현재 상태의 응력과 변형율에 따라 박막의 상태를 판정하고 이에 따른 주름 방향을 예측하여 다음 축차에서의 주름 응력을 개선해 나가는 외연적 방법은 박막의 상태가 팽팽한 영역, 주름진 영역을 왕복 진동하는 경우가 발생하고, 주름 방향도 진동하는 특성을 보여 Newton-Raphson 축차 계산 시 비교적 많은 축차수를 필요로 한다. 향후, 주름이 발생하는 박막의 수렴성에 대한 고찰과 수렴성을 높이기 위해 내연적(implicit) 기법의 수식화에 대한 연구가 진행되어야 할 것으로 판단된다. 또한 이 논문에서는 직관적 고찰에 의해 탄성 인장 에너지를 이용하여 주름의 방향과 주름 응력을 계산하였으나 이 직관적 고찰을 수학적 이론으로 정리하는 연구가 필요하다고 판단된다.
