A meshfree multiscale method is presented for efficient analysis of local phenomenon problems. Scale decompositions into coarse and fine scale are carried out based on variational form of the problem. Coarse scale is designed to represent global behavior and fine scale to represent local behavior. Each scale variable is approximated using meshfree method. Meshfree approximation is well-suited for adaptivity. As a method of increasing resolution, partition of unity based extrinsic enrichment is used. The decomposed problems are solved iteratively and conversed results are obtained. Iteration procedure is indispensable for the analysis of nonlinear problems. Therefore iterative solution procedure of each scale problem is naturally adequate.
Firstly, the proposed meshfree multiscale method is applied to the potential problems. Fine scale region is detected form the high-frequency measure and fine scale variable is approximated using polynomial type local approximation functions. Error norms are significantly decreased by introducing fine scale variable and local changes of solution that cannot be detected using single scale method are also catchable. It is shown that the meshfree multiscale method works well.
For the analysis of elastoplastic problems, plastic deformation region is used as the fine scale region because severe deformation and localized distortions are expected in that region. The proposed method is applied to the Prandtl's punch test and shear band problems. In the analysis of Prandtl's punch test problem, the proposed method shows robustness against locking. In the shear band problem the proposed method can effectively capture shear band and shows insensitive results to nodal distribution.
In the analysis of softening elastoplastic solids, standard finite element methods or meshfree methods typically yield mesh-dependent results. The reason of this well-known effect is the loss of ellipticity of the boundary value problem. Fine scale region is detected from the local failure analysis of acoustic tensor to indicate region that deformation changes abruptly. In particular, fine scale approximations are designed to appropriately represent local behavior by using localization angle. Moreover, regularization effect through convexification of non-convex potential is embedded to represent fine scale behavior. The proposed method is applied to shear band problems. In the results of analysis about pure shear and compression problems, straight shear bands can be captured and mesh-insensitive results are obtained. Curved shear bands can also be captured without mesh-dependency in the analysis of indentation problem.
For the analysis of strain gradient plastic solids, localization due to increased hardening of strain gradient effect appears. As a strain gradient plasticity theory, Chen-Wang theory is adopted. It represents strain gradient effects as an internal variable and retains the essential structure of classical plasticity theory. Fine scale is designed to represent local behavior and gradient effect by using the intrinsic length scale. From the detection of high strain gradient region, fine scale region is adopted. The proposed method is applied to bending of a small size beam, bimaterial shear layer and micro-indentation problems. In the results of analyses size effects can be effectively captured. The proposed meshfree multiscale method is expected to be useful for the analysis of local phenomenon problem other than the problems treated in this paper. Studies on the decomposition algorithms and solution procedures of such local phenomenon problems will be valuable in future.
공학 문제들은 그 현상의 특징을 나타내는 ‘대표적인 길이’를 가지고 있는데, 이를 그 문제의 스케일이라고 한다. 단일 스케일을 갖고 있는 문제가 있는 반면에, 문제에서 관심을 갖고 있는 바에 따라 서로 다른 여러 개의 스케일이 공존하는 문제가 있다. 이러한 다중 스케일 문제를 하나의 스케일 관점에서만 해석하면 효율성에서 문제가 생긴다. 국부적 스케일에만 관심을 두고 해석을 하면 계산비용이 지나치게 커지게 되고, 거시적 스케일에만 관심을 두고 해석을 하면 국부적 현상을 구할 수 없게 된다. 본 연구에서는 다중 스케일 방법으로 국부현상문제를 효율적으로 해석하기 위한 연구를 수행한다. 스케일 분리를 통하여 국부 현상 문제를 거친 스케일 문제와 고운 스케일 문제로 분리하고 무요소 형상함수의 특성을 이용하여 각 스케일 변수들을 근사한다. 각 스케일 문제를 반복적으로 풀어 원문제의 해를 구한다. 이러한 접근법은 축차를 통하여 해석하는 비선형 문제에 적용이 용이하다. 비선형 문제에 적용하기 앞서, 이 방법을 포텐셜 문제에 적용하였다. 고운 스케일 포착 알고리즘으로 무요소 형상함수의 특성을 이용하였다. 무요소 형상함수의 받침 크기에 따라 근사하는 해의 주파수가 다르다는 성질로 고주파 항을 찾아내어 고운 스케일을 포착하였고, 단위분할에 근거한 외부보강 방법으로 고운 스케일을 근사하였다. 다중 스케일 해석으로 단일 스케일 해석에서 찾아낼 수 없었던 국부적 변화를 찾아낼 수 있었고, 전체적으로 타당성 있는 결과를 얻을 수 있었다. 본 연구에서 제안된 다중스케일 방법을 비선형 문제인 탄소성 변형 문제에 적용하였다. 국부적 변화가 심할 것으로 예상되는 소성영역 부분을 고운 스케일 영역으로 잡고 스케일 분리를 하였다. 개정 Lagrange 방법으로 수식화 하였고, 무요소 형상함수와 단위분할에 근거한 외부보강 방법으로 고운 스케일을 근사하였다. 다중 스케일 해석결과를 유한요소 해석과 일반적인 무요소 해석결과와 비교하였다. 보의 인장문제를 통해 제안된 방법의 적용성을 살펴보았고, 펀치시험 문제를 통하여 본 연구에서 제안한 다중 스케일 방법이 잠김현상에 대해 강건한 결과를 나타낸다는 것을 보였다. 또한 전단밴드 문제 해석에서 절점 배열에 둔감한 전단밴드를 얻을 수 있었다. 국부파괴가 일어나는 가공경화 재료의 거동해석을 제안된 다중 스케일 방법으로 수행하였다. 음향텐서의 고유치 해석을 통한 국부파괴해석으로 분기가 일어나는 영역을 찾아 고운 스케일 영역으로 잡고 스케일 분리를 하였다. 포텐셜의 볼록화 효과를 주는 국부근사함수를 이용하여 단위분할방법으로 고운 스케일을 근사하였다. 단순 전단, 압축, 압입 문제 등의 해석을 통하여, 직선과 곡선의 전단밴드를 효율적으로 나타낼 수 있는 것을 보였다. 또한 해석결과가 절점의 수와 배열에 둔감하게 나타나는 것을 확인할 수 있었다. 물리적인 미소 스케일을 가지고 있는 변형율 구배 소성문제를 다중 스케일 해석하였다. 유효 변형율 구배량을 내부변수로 도입하여 고차응력이론을 사용하지 않고 변형율 구배 효과를 나타내는 Chen-Wang이론을 사용하였다. 변형율 구배가 커지는 부분을 고운 스케일 영역으로 잡고 스케일 분리를 하였고, 급격한 변형율 구배를 잘 근사할 수 있는 국부근사함수를 이용하여 단위분할방법으로 고운 스케일을 근사하였다. 이종재료의 전단층 문제와 마이크로 압입문제의 해석을 통하여 다중 스케일 해석법으로 크기효과를 효과적으로 나타낼 수 있다는 것을 보였다. 이러한 예제들의 결과에서 알 수 있듯이, 본 연구에서 제안한 다중 스케일 방법은 국부현상문제의 효율적 해석이 가능하며 특히 비선형 문제에 적합하다는 것을 알 수 있다. 본 논문에서 다루지 않은 형태의 국부현상문제도 적절한 스케일 분리와 국부현상의 특성을 나타내는 스케일 근사를 통하여 효율적 해석이 가능할 것이라 여겨진다.
