This thesis is devoted to a study on the Fourier transform of Banach space valued functions defined on a locally compact abelian group. For a locally compact abelian(LCA) group $\mathbb{G}$ and 1 ≤ p ≤ 2, the Fourier type p norm with respect to \mathbb{G}$ of a bounded linear operator T from a Banach space to a Banach space is denoted by $\|T|\mathcal{FT}_p^{\mathbb{G}}\|$ and the class of T$satisfying $\|T|\mathcal{FT}_p^{\mathbb{G}}\|< ∞$ is denoted by $\mathcal{FT}_p^{\mathbb{G}}$. For 1
이 논문은 정의역이 국소 컴팩트 가환군이고 치역이 바나흐 공간인 함수들의 푸리에 변환에 관한 연구에 대한 것이다. 어떤 국소 컴팩트 가환군 위에 정의 되는 함수들이 있을 때, 이 함수들의 푸리에 변환을 그 가환군에 대하여 정의 할 수 있다. 더 나아가 두 바나흐 공간들 사이에 작용하는 선형작용소가 푸리에 변환과 함께 적용될 때, 1 이상 2 이하의 값 p에 대하여, 선형작용소의 p-푸리에형 크기를 정의 할 수 있다. 이 논문은 p-푸리에형 크기에 대하여 다음의 결과를 포함하고 있다.
가. 국소 컴팩트 가환군이 특정한 조건을 만족하면, 임의의 작용소의 그 가환군에 대한 p-푸리에형 크기가 단위원 군에 대한 p-푸리에형 크기와 동등함을 증명했다.
나. 한 작용소가 주어졌을 때, 임의의 국소 컴팩트 가환군에 대한 p-푸리에형 크기는 ‘서로 다른 유한 순환군들의 다이렉트 곱 군' 즉 $\mathbb{Z}_2 × \mathbb{Z}_3 × …에 대한 p-푸리에형 크기보다 작거나 같음을 보였다.
다. 만약 임의의 국소 컴팩트 가환군이 유한 차 군이 아니라면 그 가환군에 대한 p-푸리에형 크기는 단위원에 대한 p-푸리에형 크기에 상수를 곱한 값보다 크거나 같다. 만약 임의의 국소 컴팩트 가환군이 유한 차 군이라면, 그 가환군에 대한 p-푸리에형 크기는 하나의 유한 순환군을 무한 번 곱한 다이렉트 곱 군에 대한 p-푸리에형 크기보다 크거나 같고, 다른 하나의 유한 순환군을 무한 번 곱한 다이렉트 곱 군에 대한 p-푸리에형 크기보다 작거나 같다.
라. 임의의 국소 컴팩트 가환군에 대하여, 어떤 바나흐 공간이 적어도 하나의 p에 대하여 유한한 p-푸리에형 크기를 갖으면 그 바나흐 공간은 B-convex하다. 그리고, 임의의 국소 컴팩트 가환군에 대하여, 한 바나흐 공간이 유한한 2-푸리에형 크기를 갖는 것은 그 바나흐 공간이 적어도 하나의 힐버트공간과 동형인 것과 동치이다.
마. 주어진 작용소에 대해서, 어느 힐버트 공간이 존재하여 그 힐버트 공간이 작용소의 원래의 대응관계를 유지하면서 동시에 그 작용소를 두개의 작용소로 나눌 수 있을 때에, 원래의 주어진 작용소의 p-푸리에 형 크기의 상한과 하한을 구하였다.
