In this thesis, we have investigated the theoretical and experimental propagation properties of water waves through finite two-dimensional(2D) periodic structures which are composed of vertical cylinders which stand from the bottom to the air above water surface. For the numerical simulation of the transmission properties of water waves through artificial crystals, we use the multiple-scattering method and consider the linear interaction of monochromatic water waves.
The water wave bandgaps (WWBGs) of two-dimensional finite structures have been considered as good candidates for costal protection in numerical simulations. But the lack of experimental evidence of WWBGs makes the suggestion unreliable that artificial crystals are better structures for costal protection. Thus we have confirmed the existence of WWBGs experimentally by measuring the transmission spectra of water waves in 2D periodic structures for laboratory size samples and compared the experimental results with numerical calculations. Our experiments have been conducted with graphite structures, triangular lattice structures and square lattice structures. The WWBGs of graphite structures were easily measured in our experiments. The centers of the first gaps exist at around 4 Hz corresponding to the wavelength $λ_c = 55 mm$ for the Γ-P and 60 mm for the Γ-Q direction, respectively. The widths of WWBGs along two directions are nearly equal and about 15 mm. The lowest transmittance is of the order of $10^{-2}$. The experimental data and the numerical calculations show fairly good agreement on the whole, especially in the first gap region, but quite a discrepancy is found in both the position and size of the second gap along the Γ-P direction. Along the Γ-Q direction of triangular structures, the position of the experimental bandgap is shifted a bit toward higher frequency region with wider and shallower shape compared with the simulation results. The gap is centered at $λ_c = 30 mm$ and the gap width is about 15 mm in wavelength. Comparing with the first gaps of graphite structures which have similar spatial parameters, the widths of gaps are about the same, but the depths deeper by an order and the center wavelength of the gap is about half as much shorter in the triangular case. For the Γ-P direction of the triangular structures the agreement between the experiment and theory are much worse than the other three cases; the experimental bandgap seems to become broader and shallower than the simulation results, especially at higher frequencies. Presumably this disagreement might have been caused by the imperfections in the structures. As they generally make the bandgaps broader and shallower in all cases, even small amount of structural imperfections may destroy the boundary between two bandgaps, leading to one wide gap. The higher frequency edge of this gap was unattainable as the wavelength at higher frequencies is too short to perform the experiment. For the square lattice structures, we have found some disagreement between the experimental and the simulation results and they are considered to be originated from the structural imperfections and also from the high filling fraction of the structures. Through our experiments, we have demonstrated the existence of WWBGs in finite 2D periodic graphite , triangular and square lattice structures composed of vertical cylinders which stand from the bottom to the air above water surface. The experimentally measured transmission spectra agree well with the numerical simulations obtained by using the multiple scattering method.
We have tried to find the way of expanding the WWBGs by implementing certain degrees of imperfections in the periodic structures. Bandgap expansions were observed but mostly in the high transmittance region (≥ 0.15) of the transmission spectrum. Thus the expansion of a single bandgap by using of the structural imperfections is not practical but it has been observed that the gap expansion by the fusion of adjacent gaps is possible. It is also found that the graphite structure is the most stable among the three periodic structures against any possible structural imperfections.
We have also investigated the effects of defects using the square lattice structures. There exists a defect mode, i.e, some frequency range within the WWBGs in which water waves can be transmitted through the structures when the central cylinder of the square lattice structure is absent. As the radius of central cylinder becomes smaller or larger than the original value, the wavelengths of the defect modes move toward the longer values.
We have analyzed the WWBGs for other structures like quasicrystals, heterostructures and structures composed of polygon-shape aggregations. Quasicrystal structures have WWBGs whose shapes are similar to those of the periodic structures. But the characteristics of quasicrystals' WWBGs differ from the periodic structures. The depths of bandgaps are comparable to those of the periodic structures but the widths are narrower. As the wavelength becomes shorter, the overall transmittance of water waves through quasicrystals decreases.
Even when the size of quasicrystals becomes larger, the depths of WWBGs do not increase beyond some limit.
Next, we found that the widths of WWBGs can be expanded by using heterostructures. The structure composed of two triangular structures connected with different symmetry directions yielded wider WWBGs than those of each single structure. And also the structure composed of a graphite lattice and a triangular lattice connected together gave wider bandgaps. In the case that the gaps of two structures are located in the same frequency region, it is found that water wave of certain wavelength is transmitted through the structures; a kind of Fabry-Perot phenomenon in water waves.
In addition, we have investigated the effect on the WWBGs when a cylinder in the periodic structures is replaced with an aggregation of cylinders that are arranged in the shape of some polygons. It is shown that these structures also have WWBGs; in the first bandgap regions, the transmittances are higher and the shapes of the second bandgaps are similar compared with those of the normal structures. In the results, it is concluded that the structure of aggregations is not sufficient replacement for the structure of the single cylinder.
Based on the results of our experimental and theoretical investigations, we suggest the 2D periodic structures consisting of vertical cylinders, either filled or of sell-type, as good candidates for costal protection.
인공결정구조는 파의 진행을 인위적으로 제어할 수 있는 새로운 형태의 구조로서 많은 분야, 특히 전자기파에서 활발히 연구되고 있다. 본 연구에서는 인공결정구조를 파도의 영역에 적용하여 기존의 방파제를 대체할 새로운 형태의 파도 감쇄 구조로서의 응용가능성을 실험과 이론을 통해 연구하였다.
먼저, 실험실 규모의 작은 수조에서 파도가 인공결정 구조를 통과할 때 투과율의 변화를 주파수에 따라 측정하였다. 이를 통해 2차원 인공결정 구조가 파도에 대해 띠간격을 갖는다는 사실을 실험적으로 확인할 수 있었다. 사용된 흑연결정 구조는 막대사이의 거리 $a_{gr} = 34 / \sqrt{3} \rm \ mm$ 이고, 원형막대의 반경 $r_{gr} =5 mm$ 이다. 이때 Γ- P, Γ- Q 대칭방향에 따라 각각 중심파장 $λ_c = 55 mm$ , $λ_c = 60 mm$ 에서 첫 번째 띠간격이 약 15 mm 의 폭이었다. 삼각격자 구조는 격자상수 $a_{tr} = 34 / \sqrt{3} \ \rm mm$, 원형막대의 반경 $r_{tr} = 5 mm$ 이다. 이 구조는 Γ-Q 방향에서 $λ_c = 30mm$ 에 중심을 갖는 15 mm 폭의 띠간격을 가졌고 Γ- P 방향으로는 띠간격의 낮은 주파수 경계를 확인하였다. 정사각형격자 구조에서는 다른 구조에 비해 명확하지는 않지만 띠간격이 형성됨을 확인할 수 있었다. 실험값들을 다중산란방법에 의한 이론 계산값과 비교한 결과, 계산에서 고려하지 않은 파의 감쇄나 구조의 불완전성 등에 의해 차이를 보였으나 정사각형구조를 제외하고는 대체적으로 일치하는 모습을 볼 수 있었다.
파도의 투과율 실험 결과에서 이론값과의 차이가 나타난 원인 중 하나는 구조물의 불완전성이다. 불완전성은 각 막대들의 위치나 반경이 완전한 구조가 갖는 값에서 벗어나는 정도를 나타낸다. 이런 불완전성을 띠간격 확장의 한 방법으로서 구조에 인위적으로 적용하는 것을 고려해 보았다. 인위적인 불완전성의 적용에 의해 띠간격이 확장되기는 했다. 그러나 이 확장은 삼각격자의 경우도 투과율이 0.15 이상인 지점에서 일어나므로 감쇄효과가 충분하지 않다. 불완전성을 이용한 띠간격의 확장 중 가장 가능성이 높은 것은 띠간격의 융합을 이용하는 것이다. 삼각격자의 Γ- P 방향에서 불완전성에 의해 띠간격 사이의 좁은 경계가 없어지면서 두개의 띠간격이 합쳐졌다. 따라서 부분적이지만 인위적인 불완전성의 적용을 이용하여 띠간격의 확장이 가능함을 보았다. 띠간격의 확장 이외에도 불완전성에 따른 투과율의 연구는 각 구조가 시공 시 생기는 공차에 대해 어느 정도의 안전성을 지니는지 알 수 있었다. 흑연결정 구조가 세 구조 중 가장 안전성이 뛰어났다. 세 가지의 인공결정 구조에 대한 연구를 통해 가장 응용에 적합한 구조는 흑연결정 구조임로서 다른 구조에 비해 낮은 채움율에서도 완전띠간격을 나타내고 구조물의 주기성에 비해 차단하는 파의 파장도 가장 길며 시공 시 공차에 대한 안전성도 상대적으로 우수하였다.
다음으로 인공결정 구조에 결함이 있을 경우, 그 결함 모드에 대해 조사하였다. 해안과 같은 자연물에 구조를 설치해야 하는 인공결정 구조에서는 주위 상황에 따라 결함을 피할 수 없는 상황이 있게 된다. 따라서 결함을 갖는 인공결정 구조에 대해 연구하는 것은 결함 모드 자체의 연구 뿐 아니라 인공결정의 파도 감쇄 구조로서의 응용성을 판단하는데 중요한 자료가 된다. 정사각형격자 구조에 인위적인 결함을 넣었을 때 띠간격 내에 존재하는 특정한 주파수의 파를 투과시키는 결함 모드가 광결정에서와 같이 존재함을 확인하였다. 구조의 중앙에 위치한 막대의 반경이 원래보다 작아지는 경우 결함 모드는 주파수가 낮아지는 쪽으로 이동하였고 반대의 경우도 모드의 주파수가 낮아지나 거의 띠간격 경계 근처에 있게 된다. 이런 결함 모드는 차단하려는 파의 일부를 투과시키므로 인공결정을 방파제로 응용하기 위해서는 결함이 있을 때 그에 따른 투과율의 변화를 고려해 주어야 한다. 결과에 따르면, 막대가 원래 크기보다 클 때 생기는 결함 모드는 그 위치가 띠간격의 경계부분에 존재하므로 크기가 작을 때 생기는 결함 모드에 비해 더 안전하다. 물론, 작은 경우도 그 투과하는 대역이 상당히 좁으므로 응용에 있어 큰 문제는 없을 것으로 보인다.
인공결정의 형태를 주기적인 구조에만 국한하지 않고 새로운 물질의 형태로 주목받고 있는 준결정구조로 확장하였다. 준주기적인 장거리병진질서를 가지고 있는 준결정구조에서 파도의 투과율과 띠간격의 형성을 계산해보고 주기적인 구조를 사용할 때와 어떤 차이가 있고 그 응용성은 어떤지 살펴보았다. 주기적인 구조와 비교해 준결정구조의 띠간격은 대등하거나 우수한 정도의 투과율 감소를 보여주고 있지만 띠간격의 폭이 상대적으로 좁게 나타났다. 또한, 짧은 파장일수록 띠간격의 형태가 명확하게 나타나지 않고 투과율이 전체적으로는 낮아지는 현상을 보였다. 대칭 방향에 거의 상관없이 일정한 띠간격을 가지고 있으며, 특히, 구조를 이루는 막대의 개수가 증가할 때 띠간격의 깊이가 계속해서 커지는 일반적인 구조와 달리 준결정구조에서는 임계 크기 이상의 구조에서는 띠간격이 증가하지 않는 특징을 보였다. 결국, 준결정 구조는 상대적으로 띠간격의 깊이는 깊지만 그 폭이 매우 좁고 구조의 불완전성에 대한 안전성이 떨어지는 문제가 있어 다른 주기적인 구조에 비해서 응용성이 떨어짐을 알 수 있었다.
마지막으로 두 가지의 구조적인 변형을 통하여 인공결정 구조의 응용성을 높이기 위한 연구를 수행했다. 사실 인공결정 구조가 갖는 가장 큰 문제는 띠간격의 폭이 작다는 것이다. 이를 해결하기 위한 방법의 하나로 이종접합구조를 이용한 띠간격의 확장을 살펴보았다. 대칭방향이 서로 다른 두 삼각격자 구조를 이어 붙인 접합구조와 흑연결정과 삼각격자 구조의 띠간격을 엇갈리게 이어놓은 형태의 두 가지 이종접합구조에 대해 투과율을 계산해 본 결과 각 구조가 가지는 띠간격이 합쳐져 큰 띠간격을 이루게 되었다. 삼각격자를 이용한 구조에서는 $ka_{tr} /π$ 가 0.91~1.76 의 영역에 띠간격이 위치했다. 파장으로 환산하면 대략 22~45 mm 로 삼각격자 구조의 Γ- Q 방향의 띠간격보다 폭이 약 50% 정도 증가하였다. 흑연과 삼각격자를 사용한 구조는 띠간격을 $ka_{gr} /π$ 가 0.66~1.24 에서 갖고 이를 파장으로 환산하면 31~63 mm 의 영역으로 폭이 흑연결정 구조보다 거의 100% 정도 증가하였다. 띠간격 내의 투과율은 두 구조 모두 $10^{-2}$ 정도로 충분한 감쇄효과를 보인다. 이런 띠간격의 확장을 통해 인공결정 구조의 응용성을 높일 수 있다. 이 외에도 띠간격이 겹치는 구간에서 각 구조가 거울과 같은 역할을 하여 광학에서 생기는 Fabry-Perot 현상과 유사하게 띠간격 내에서 특정한 파장을 갖는 파가 투과할 수 있음을 발견했다. 다음으로 일반적인 원형막대 대신 작은 막대들을 십각형, 팔각형 등 여러 가지 다각형의 형태로 배치한 막대의 집합체를 이용하였다. 이런 집합체로 이루어진 정사각형격자 구조에서 띠간격이 형성됨을 확인하였다. 형성된 띠간격의 형태를 일반적인 원형막대를 이용한 경우와 비교해 보면, 첫 번째 띠간격의 영역에서는 띠간격의 형태는 나타나나 투과율이 원래 구조에 비해 상당히 높았으며 두 번째 띠간격은 원래 구조와 비견될 정도로 나타났다. 결과적으로 계산에 사용된 집합체들은 원래 목적인 원형막대의 대체물로서의 역할을 완벽히 수행하지는 못함을 알 수 있었다. 이런 집합체 구조를 대체물이 아닌 독립된 구조로 생각한다면 같은 파장의 파를 막기 위해서는 단일 구조에 비해 전체적인 크기가 커지는 단점이 있다. 그러나, 작은 반경의 막대를 이용한다는 시공 상의 장점과 구조의 채움율이 상대적으로 낮다는 장점을 갖고 있어 응용가능성이 충분히 있다.
이상과 같이 본 연구에서는 이론적으로만 제시되었던 인공결정 구조에 의한 파도의 감쇄효과를 실험적으로 확인하였고 이외에 파도에서 인공결정 구조가 갖는 여러 가지 특성들을 연구하였다. 연구의 결과로 부터 인공결정 구조가 기존 방파제의 오염 문제를 해결할 수 있는 환경 친화적인 대안이 될 수 있음을 확인하였다.
