We consider a polygonal billiards map T. Let R$_n be the first return time of T to the ball of radius 2$^{-n}$ centered at an initial point. Kac's lemma is the well known fact which relates to the first return time. In this work, we show, roughly, that (log$_2 R$_n)/n converges to 1 in case of the typical triangle and confirm this by computer simulations. We also find the average of (log$_2 R$_n)/n which is related to L$^1-convergence. We expect that they hold for general polygons.
다각형 당구변환 T가 있다. R$_n은 초기점을 중심으로 하는 반경 2$^{-n}$ 구 내부로 돌아오는 최초회귀시간이다. 카츠 보조정리(Kac's Lemma)는 최초회귀시간과 관련된 중요한 사실이다. 전형적인 삼각형의 경우에 (log$_2 R$_n)/n이 1로 수렴할 것이라고 개략적으로 보이고 이를 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 확인해 보았다. 또한 L$^1-수렴과 관련하여 (log$_2 R$_n)/n의 평균도 구해보았다. 이는 일반적인 다각형의 경우에도 성립할 것으로 예상된다.
