The correlation dimension as a nonlinear invariant has been applied to EEG and calculated since its appropriate algorithm was suggested by Grassberger and Procaccia. Whenever finite results were obtained by applying GPA, they have been accepted as the strong evidence that EEG is an outcome of a deterministic nonlinear dynamical system or a chaos. But later a filtered noise was known to mimic low-dimensional chaotic attractors, i.e., a filtered noise gives rise to a finite correlation dimension (D2) when examined by the Grassberger-Procaccia algorithm alone.
Here we give an account of how the usual nonlinear invariants such as dimensions (number of excited degrees of freedom), entropy (production of information), and characteristic exponents (describing sensitivity to initial conditions) are mathematically defined and derived from the differentiable dynamical system. In addition, the relations between them, as well as their experimental determination, are summarized.
Based on mathematically derived nonlinear statistics, a statistical method, named by surrogate test, is suggested and implemented for identifying nonlinearity and determinism in EEG. This method first specifies some linear (stochastic) process as a null hypothesis, and then generates surrogate data sets which are supposed to be consistent with this null hypothesis. After computing discriminating statistics such as the nonlinear invariant measures described above for the original and the surrogate data sets, we compare the value computed for the original data with the ensemble of values computed for the surrogate data sets. A nonlinearity is present in the observed time series if a null hypothesis is statistically rejected.
In this study we obtained a statistically negative result for the nonlinearity of EEG when the characteristic exponent and correlation dimension based surrogate tests were done. It implies that EEG is a stochastic signal. However, there was an explicit limit in this study, i.e., we couldn’t convince ourselves that the algorithms we used will be well operated in a rather higher dimensional system as well as in low dimensional system such as Lorenz system. Nevertheless, we could show that the surrogate test would be a good tool in determining whether a time series is nonlinear or not. Finally, we include some results on the financial data, the price of a stock. They also showed the stochasticity in a scaling range.
위 연구에서 우리는 surrogating test를 이용하여 뇌파 시계열 데이터가 선형 stochastic 신호인지 여부를 살펴 보았다. 본 연구에 사용된 비선형 측정량, 즉 상관 차원과 리아프노프 지수에 대해서 뇌파는 filtered 노이즈와 큰 차별성을 나타내지 않았으며, 저차원 카오스 시스템에서 유효한 것으로 입증된 알고리듬을 적용했을 때, 뇌파는 마치 선형 stochastic 신호인 양, 그와 유사한 양상을 보이는 듯이 행동하였다. 이는 초기의 선형 분석에 이어 비선형 분석이 새로운 대안으로 제시되었던 일련의 연구 과정에 있어서 뇌파의 본성을 다시금 고찰하게 하는 결과로서, 이번 연구에서 나타난 결과가 충분한 신빙성을 확보하게 된다면, 추후의 뇌파 분석은 선형분석 방향으로 흘러야 함을 암시하는 것과 같다.
하지만, 위에서 잠깐 언급했듯이 우리가 사용한 알고리듬이 고차원 카오스 시스템에도 여전히 유효한가의 문제와 시계열의 동력학적 재구성 과정에서 중요 인자가 되는 노이즈, embedding 차원, lag 시간 등등의 영향이 얼마나 고려되었는가 하는 문제를 되집어 볼 때, 위의 결론에 무조건적 의미 부여를 하는 것은 신중하지 않다는 것을 알 수 있다. 그럼에도, 위 연구는 일반적인 시계열을 분석함에 있어서 surrogate test가 차후의 분석방법을 결정함에 있어 얼마나 유효하게 적용될 수 있는가를 보여준다는 데에는 이의가 없으리라 여겨진다. Surrogate test가 좀 더 세련되어지고 많은 경우에, 여기에서는 특히, 고차원 카오스 시스템의 경우에 충분한 검증이 이뤄진다면, 이후의 연구에서 논란이 많은 시계열, 대부분의 생물학적 신호들에 있어 훌륭한 방법으로 적용성이 크리라 보여진다.
우리는 이 연구에서 surrogate 데이터를 시계열이 선형 stochastic 신호라는 귀무가설 전제하에서 100개의 데이터 집합을 만들었으며, 이들을 통계적으로 처리하여 평균값과 표준편차를 구했으며, 이들 데이터군이 가우스 분포를 따른다는 가정하에, p-value를 계산하여 통계적 신뢰성을 확보하였다.
마지막으로, 주식 데이터에 대해서는 귀무가설에 따르면, 대상 시계열이 만족해야 할 stationarity 조건이 시계열 데이터를 얻는 과정에서 전혀 고려되지 않은 상황에서 의미 부여를 할 수 없는 양상을 보였는데, 이는 주식 데이터의 동력학적 특성을 파악하기 위해서는 일일 데이터의 실시간 주가 변화상황을 대상으로 삼아서 분석해야 한다는 것을 반증하는 것으로 여겨진다.
결론적으로, 위 논문에서 사용된 surrogate test는 그 실체를 파악하기 힘든 시계열 데이터-예를 들면, 생물학적 신호나 기후 및 주가 등등-에 대해서 시계열이 어떤 시스템에서 나오는가를 일차적으로 보여줄 수 있는 매우 유용한 방법임을 알 수 있다. 또한, 이러한 방법이 고차원적 카오스 시스템의 시계열 데이터에서도 그 유효성이 충분히 검증된다면, 이후의 복잡한 시스템의 특성을 결정하는데 큰 기여를 할 수 있으리라 여겨진다.
