Recently much attention has been drawn to meshfree method since conventional methods such as Finite Difference Method (FDM), Finite Volume Method (FVM) and Finite Element Method (FEM) have suffered from difficulty of mesh generation for complex geometry. In particular, Point Collocation Meshfree Method (PCMM) is attractive among the meshfree methods because it can be regarded as a truly meshfree method. Up to now, however, PCMM for hyperbolic equations has not been possible in the literature due to the lack of innate dissipation mechanism necessary to suppress numerical oscillation by the convective terms. In the present paper, an upwind PCMM is developed using Local Point Approach (LPA). The key idea of LPA is that conservative variables are obtained by meshfree approximation at the auxiliary local points which are not necessarily nodes, on which any upwind scheme of FDM or FVM can be applied to calculate the convective terms. For space approximation, Fast Moving Least Square Reproducing Kernel Method (FMLSRK) is employed. For validation purpose, linear advection equation and inviscid Burgers equation are solved by the present scheme. Various test problems of Euler equations are also calculated to demonstrate application of the scheme for steady and unsteady, internal and external, subsonic and supersonic compressible flows. The present scheme is proved to be simple, fast and accurate compared to other meshfree methods.
최근에 많은 학자들로부터 meshfree 방법이 주목을 받고 있다. 이는 유한차분법, 유한체적법, 유한요소법과 같은 기존의 방법들이 성공적으로 여러 분야에 적용이 되고 있지만, 실질적인 복잡한 형상에 대해서 격자 형성이 쉽지 않기 때문이다. 여러 meshfree 방법 중에서도 진정한 meshfree 방법으로 간주될 수 있고 상대적으로 간단한 Point Collocation Meshfree Method(PCMM)가 최근 활발하게 연구되고 있다. 하지만 지금까지 PCMM 방법은 쌍곡형 방정식에의 적용이 불가능하였다. 쌍곡형 방정식의 대류항 계산시 발생되는 수치 진동을 억제할 어떠한 내재된 점성 mechanism도 존재하지 않기 때문이다. 본 논문에서는 Local Point Approach(LPA)를 이용하여 쌍곡형 방정식에 적용이 가능한 upwind PCMM 방법을 개발한다. LPA의 핵심 아이디어는 대류항을 계산하기 위해서 형상함수의 도함수를 직접 쓰는 대신에, 절점에 추가적인 local point를 고려하느데 있다. 이 점들에서의 보존 변수를 meshfree approximation에 의해서 구한 후, 유한차분법 혹은 유한체적법에 이미 존재하는 upwind scheme을 이용하여 대류항을 구한다. 공간차분을 위해 Fast Moving Least Square Reproducing Kernel Method(FMLSRK)를 적용하고 시간차분은 forward Euler method를 이용한다. 스킴의 검증을 위해 스칼라 방정식인 linear advection equation, inviscid Burgers equation 그리고 시스템 방정식인 Euler equations를 고려한다. 특히 Euler equations은 다양한 유동 - 정상과 비정상 유동, 내부와 외부 유동, 아음속과 초음속 유동 - 에 대해서 철저히 검증을 하였다. 여러 예제를 통하여 본 스킴이 다른 meshfree 방법들에 비해 간단하고 빠르며, 쌍곡형 방정식을 해석하는데 있어서 좋은 방법임을 확인하였다.
