Since every system in real world is nonlinear, gain scheduling control is one of the typical methods which has been used very successfully in many applications. It is based on the linear parameter varying (LPV) system whether it is from the Jacobian linearization around the equilibrium manifold or quasi-linearization through re-definition of the parameters. This dissertation is concerned with the gain scheduling controller for this LPV system.
Two different methods to design a gain scheduling controller for LPV system are
proposed. The first one is the interpolation method among the pre-designed controllers at each specified operating point and the second one is direct design method of parameter dependent controller.
A generalized interpolating method to guarantee the stability at intermediate points among the controllers designed at each specified operating point is proposed. The proposed method is to design the parameter dependent controller by interpolating Q factor in $RH_∞$ space. Since $RH_∞$ space is a ring, the weighted sum of the Q factors of the controllers also belongs to $RH_∞$ space. As a result, the design problem can be reduced to the problem of choosing the weights. Some specific weights for single-input single-output (SISO) system are suggested and extended a little bit to multi-input multi-output (MIMO) system. For this kind of interpolating controller, some properties like sensitivity function are also investigated. Finally, using the lyapunov function, it is shown that this kind of parameter varying controller can guarantee the overall stability for slow varying scheduling variables as well.
On the other hands, the direct design methods of a parameter dependent $H_∞$ controller for LPV system are developed. Sufficient conditions for existence of the controller guaranteeing the stability and some performance level for LPV system, could be given in convex optimization problem. But, because of the dependence on the varying parameters, constructing solutions to these conditions is an infinite-dimensional optimization problem. This infinite dimensional problem is solved by numerical or fixed structure approach. Fixed structure approach can reduce the infinite-dimensional optimization problem to the finite set of LMIs. In this dissertation, the LPV plant is reformulated into the affine part in the varying parameters and the remaining uncertainties. In some cases, when the plant dynamics is known at some isolated equilibria, a family of plant linearizations also could be obtained by the affine part in the dominant varying parameters and some uncertainties. With this formulation and the available information of the scheduling variables, appropriate structures of the controller are proposed and sufficient conditions for existence of the controller robustly stabilizing this uncertain affine LPV system are derived in finite set of LMIs.
이득 스케줄링 기법은 오랫동안 많은 분야에서 성공적으로 사용되어온 기법이다. 이 기법은 시변 변수를 가지는 선형 시스템을 기초로 하며, 이러한 시스템은 평형점 주위에서의 전통적인 Jacobian 선형화 방법이나 상태변수 재정의에 의한 준 선형화 방법 등에 의해 생성된다. 본 논문은 이러한 시변 변수를 가지는 선형 시스템에 대한 이득 스케줄링 제어기 설계에 관한 연구로 두 가지의 서로 다른 설계 방법이 제시되었다. 첫번째는 특정 동작점에서 이미 설계된 제어기들을 전체 영역에서의 안정성이 보장되도록 스케줄링 변수에 따라 연속적인 제어기를 설계하는 방법이며, 두번째는 변수에 종속적인 제어기를 직접 설계하는 방법이다.
먼저, 불확실하지만 고정된 스케줄링 변수에 대하여 미리 설계된 제어기들을 안정성을 보장하면서 연속적으로 이어가는 스케줄링 방법에 대한 일반적인 형태를 보였다. 일반적으로 같은 시스템을 동일 영역에서 안정화 시킬 수 있는 제어기들의 전달 함수의 선형적 연결로 이루어진 제어기는 시스템을 안정화 시킬 수 없다. 제안된 방법은 $RH_∞$ 스페이스가 더하거나 곱한 결과가 같은 $RH_∞$ 스페이스에 남아있는 환(ring)임을 이용한다. 제어기와 시스템의 Youla parameterization 으로부터 Q 인수를 구하고, 각각에 $RH_∞$ 스페이스에 속한 가중행렬을 곱한 다음 합을 구하여 그 결과가 또한 $RH_∞$ 스페이스에서 속하도록 하는 방법이다. 그러므로 이러한 스케줄링 제어기 설계 문제는 이 가중행렬의 설정 문제로 바뀌게 된다. 하나의 입력과 하나의 출력을 가진 시스템에 대하여 몇 가지 가중치가 주어졌고 다중입출력 시스템에 대한 확장이 연구되었다. 또한 이런 방법으로 설계된 스케줄링 제어기의 감도 함수등과 같은 제어기 성능을 분석하였다. 마지막으로 이러한 스케줄링 제어기가 느리게 변하는 변수에 대하여서도 여전히 시스템을 안정화 시킬 수 있음을 보였다.
둘째로, 시변 변수를 가진 시스템에 대하여 이 변수에 종속적인 제어기를 직접 설계하는 방법이 제시되었다. 일반적으로 안정성을 보장하는 최적 제어기의 존재에 관한 충분 조건은 Convex optimization 문제로 주어진다. 그러나, 시변 변수에 대한 종속성 때문에 이 문제의 해를 찾는 것은 무한 차원의 최적화 문제가 된다. 이러한 무한 차원 최적화 문제는 수치적으로 풀거나 임의의 구조를 제어기에 미리 적용시킨 다음 유한 차원의 선형 행렬 부등식으로 고쳐서 풀어야 한다. 그러므로, 본 논문에서는 먼저 주어진 시변 변수를 가진 선형 시스템을 이 변수에 대해 선형적인(affine) 부분과 나머지로 나누었다. 이러한 형태는 시스템의 모델들이 특정 동작점들에서만 구해진 경우에도 구해 질 수 있는 가장 간단한 방법이다. 이러한 형태로 변환된 시스템에 대하여 측정 가능한 스케줄링 변수 정보에 따라 적절한 제어기의 구조를 제안하고 이를 이용하여 주어진 무한 부등식을 유한 선형 행렬 부등식으로 바꾸어 해를 구하는 방법을 제시 하였다. 스케줄링 변수에 관한 정보가 많아질수록 주어진 부등식의 해가 존재할 가능성이 높아지며 설계된 제어기의 성능도 향상된다.
