This thesis presents a study of the performance of the nonlinear coordinate transformations in the numerical evaluation of singular integrals. Accurate numerical scheme for singular integrals is of importance to reliable implementation of the boundary element method. In Chapter 2, we review the traditional nonlinear coordinate transformations, the polynomial and the parametric transformation. We also propose a new nonlinear coordinate transformation, a parametric sigmoidal transformation, containing a parameter b which has most properties of the sigmoidal transformation. In Chapter 3, we consider the weakly singular integrals. It is shown that the new transformation together with the Gauss-Legendre quadrature can better the asymptotic truncation error of the approximation effectively by controlling the value of b. In Chapter 4, we deal with the numerical evaluation of the Cauchy principal value and the Hadamard finite-part integrals by using the Euler-Maclaurin formula. Through the asymptotic error analysis of the Euler-Maclaurin formula using the parametric sigmoidal transformation, it can be observed that it provide a distinct improvement on its predecessors using traditional sigmoidal transformations.
본 논문은 특이적분을 수치계산할 때 사용하는 비선형 좌표 변환법의 효능을 다룬다. 특이 적분을 수치적으로 정확히 계산하는 방법은, 공학에서 다루는 실제 문제들을 해결하는 중요한 도구인 boundary value method의 결과를 신뢰하기 위해 매우 중요하다. 2장에서는 기존의 비선형 좌표 변환법인 polynomial transformation과 sigmoidal transformation에 대해 알아본다. 또한, sigmoidal 변환의 대부분의 특징을 공유하면서, 변수 b가 추가된 새로운 비선형 좌표 변환법, parametric sigmoidal transformation을 제시한다. 3장에서는 weakly singular integral에 대해 알아본다. Gauss-Lengendre quadrature와 함께 새로운 변환을 사용하면, b의 값을 제어함으로써 근사값의 오차를 개선할 수 있음을 보인다. 4장에서는 Euler-Maclaurin formula를 사용하여 Cauchy principal value integral과 Hadamard finite-part integral을 수치적으로 계산하는 것을 다룬다. Parametric sigmoidal transformation을 사용하여 Euler-Maclaurin formula의 근사오차를 분석해 보면, 기존의 sigmoidal transformation을 사용한 이전의 방법에 비해 뚜렷하게 오차가 개선됨을 관찰할 수 있다.
