Populations of coupled oscillators have been investigated as models of many physical, chemical, and biological systems. Interactions between the elements of the systems are generally time delayed due to the finite speed of signal transmission or signal processing. When the time delays are comparable to the characteristic time scale of the systems, they can affect the dynamics significantly.
In this study, motivated by neuronal systems, we investigate the effects of time-delayed interactions on the dynamics of nonlocally coupled oscillators. We show that time delays can induce various patterns, and multistabilities of patterns and in-phase synchronous oscillations.
In our models, we introduce a finite interaction radius $γ_0$ to incorporate the nonlocality of interactions. Each oscillator is allowed to interact with its neighbors within $γ_0$. With this coupling topology, we study two kinds of time delays : uniform time delays and distance-dependent time delays. We also extend our study to the case with random coupling topologies.
Through numerical simulations, we find that uniform time delays with the finite interaction radius can induce various kinds of patterns including plane waves, spirals, antispirals, and transient squarelike pinwheels in addition to in-phase synchronous oscillations. We show that a quantity Ωτ, where Ω is the synchronization frequency of a state and τ is the time delay, characterizes the state. The system exhibits multistabilities of patterns and in-phase synchronous oscillations.
With distance-dependent time delays due to a finite and constant signal transmission speed υ, the system shows plane waves, squarelike or rhombuslike pinwheels, spirals, and targets in addition to in-phase synchronous oscillations. It is shown that the oscillators cannot be perfectly synchronized and can exhibit only patterns if $θ=Ωγ_0/υ$, the maximum virtual phase difference between oscillators due to delays, is greater than a constant value $θ_c$. As in the case with uniform time delays, the system exhibits multistabilities of patterns and in-phase synchronous oscillations.
Finally, as an extension to the case with more complex coupling topology, we also investigate the dynamics of randomly coupled oscillators with distance-dependent time delays. Numerical simulations show that the time delays, proportional to the distances between interacting oscillators, can induce near regular waves in addition to near in-phase synchronous oscillations even though oscillators are randomly coupled. We find that the virtual phase difference due to the time delays plays a crucial role in the determination of the stability of the wave states and the in-phase synchronous states.
Wave formation by nonlocal interactions with time delays is a new mechanism. Our results, especially those with randomly coupled oscillators, imply that time delay induced wave formation may be a mechanism for waves in complex systems.
심장의 박동 조절 부위, 신경계, 반딧불 집단, 조셉슨 접합, 생체리듬을 관장하는 뇌의 영역 등 많은 시스템들이 진동자들의 집단으로 모델링되고 연구되고 있다. 이러한 시스템들을 구성하고 있는 요소들은 서로 상호작용하며, 전체 시스템의 움직임을 만들어 낸다. 그런데, 요소들 간의 상호작용을 매개하는 신호의 전파 속도가 유한하다는 점과 신호처리에 시간이 걸린다는 점에 의해 각각의 구성 요소들은 다른 요소들의 바로 그 순간의 상태가 아닌, 얼마 전 상태에 의해 영향을 받게 된다. 신경계와 같은 생체계의 경우, 이러한 지연 시간은 구성 요소들의 활동 시간과 같은 수준의 크기를 갖게 되어 전체 시스템의 동역학에 영향을 끼치게 된다.
본 논문에서는 진동자들의 집단으로 볼 수 있는 시스템에서 이러한 시간 지연이 있을 때 나타날 수 있는 현상에 대하여 연구하였다. 특히, 신경계에서와 같이 구성 요소들이 비국소적으로 결합되어 있을 때의 경우를 다루었다.
여기에서 다룬 모델에서 진동자들은 2차원 상에 놓여 있고, 진동자들은 시간 지연된 상호작용으로 결합한다. 이 논문에서는 지연 시간이 모든 상호작용에 대해 동일한 경우와 상호작용하는 진동자들 사이의 거리에 비례하는 경우에 대해 다루었다. 또한 상호작용이 비국소적인 것을 고려하기 위해 거리 $γ_0$ 를 도입하여 각각의 진동자들이 자신으로부터 거리 $γ_0$ 이내의 진동자들과만 상호작용하도록 하였다. 진동자들이 무작위적으로 서로 결합되어 있는 경우도 다루었다.
시뮬레이션을 통하여, 균일한 시간지연이 있는 비국소적 상호작용에 의해 시스템이 다양한 상태를 갖게 됨을 확인하였다. 평면파, 나선파, 나선파와는 파의 진행방향이 반대인 반나선파, 그리고 사각형 모양의 회전파 등을 진동자들이 동기화되어 진동하는 상태와 더불어 관찰하였다. 어떤 상태의 진동 주파수 Ω와 시간지연 τ의 곱으로 주어지는 양 Ωτ가 그 상태의 특징을 결정지음을 알 수 있었다. 그리고, 시간지연에 의해, 동기화된 진동상태와 문양이 있는 상태가 같은 시스템 조건에서 안정화되는 경우가 있음을 보았다.
또한, 결합 신호가 유한하고 일정한 속도 υ 로 전달되어 지연 시간이 진동자 간의 거리에 비례하는 경우를 다루었는데, 이 경우도 위의 경우와 비슷하게, 동기화된 진동뿐만 아니라 다양한 상태를 나타내었다. 평면파, 나선파와 마름모형이나 사각형의 회전파 등이 형성되는 것을 볼 수 있었다. 동기화되어 진동하는 상태의 안정성을, 진동주파수 Ω 와 지연 시간을 이용하여 분석하였다. 동기화된 진동에서는 진동자 간에 위상차가 없지만, 진동자 입장에서 시간 지연되어 오는 신호를 봤을 때, 진동자가 겪게되는 다른 진동자와의 최대 위상차는 $θ=Ωγ_0/υ$ 로 주어지게 된다. 이 값이 상수 값 $θ_c$ 보다 크면, 이 주파수를 갖는 동기화된 진동상태는 불안정함을 알 수 있었다. 이 경우도, 시간지연에 의해 시스템이 다양한 다중안정성을 갖게 됨을 발견하였다.
마지막으로, 보다 복잡한 비국소적 결합구조에서의 시간지연 효과를 보기 위하여, 진동자들이 무작위적으로 서로 결합되어 있고, 지연 시간이 거리에 비례하는 경우에 대해서 연구하였다. 무작위적으로 결합되어 있는 경우임에도 불구하고, 시간 지연된 상호작용이 거의 규칙적인 진행파를 형성시킴을 확인하였다. 각각의 상태들의 안정성이 각 진동자들이 시간지연에 의해 겪게 되는 진동자들 간의 위상차에 의해 좌우됨을 보였다.
이 연구에서 밝힌 것과 같은 시간지연된 비국소적 상호작용에 의한 진행파형성은 진행파 형성에 있어서 새로운 메카니즘이다. 특히, 무작위적으로 결합되어 있는 진동자 시스템에서 거의 규칙적인 진행파가 나왔다는 사실은 무작위적으로 결합되어 있으면 어떤 특정 구조를 갖는 움직임을 보일 수 없다라는 기존의 생각에 반하는 것으로 시간지연의 역할이 중요함을 보여주는 좋은 예이다.
비국소적이고 시간지연된 상호작용에 의한 진행파 형성 메카니즘은 복잡한 결합구조를 갖고 있는 뇌에서 관찰되는 유사한 파형들과 동기화 상태의 이해에 도움이 될 것이다. 그리고, 시간 지연에 의해 시스템이 갖게 되는 상태가 다양해지고, 문양을 포함한 다중안정성이 나타나게 되는 것은 시간 지연이 신경계에서 뉴런들의 시공간 활동에 의한 기억저장과 정보처리에 중요한 역할을 할 수 있음을 보여준다.
