We propose schur algorithm combined with an extrapolation method for inverse scattering problems in the coarse discretization environment. The proposed method compensates the discretization error to two decimal digits for 3 stages extrapolation.
The schur algorithm can be interpreted as the initial value problem of one step scheme for solving the coupled-mode differential equation which has no closed from solutions. There is no appropriate way to improve the performance of schur algorithm without decreasing mesh size. In order to apply the extrapolation scheme, we analyze the discretization error behavior, derive the error bound and obtain the asymptotic expansion of the schur recursion formula. For robustness, we proposed stable estimation scheme for multistep coupling coefficients. The iterative extrapolation scheme is used to minimize the estimation error.
As shown in simulation results, the proposed method compensates the global discretization error and make the computed coupling coefficients converge to exact coupling profile.
역산란 문제는 전자공학에서 많은 응용분야를 가지고 있다. 광 필터의 설계, 격자 필터 모델을 통한 음성의 합성 및 복원, 비파괴검사 그리고 전송선 모델을 이용한 마이크로웨이브 필터의 설계 와 같은 많은 분야에서 응용이 되고 있다.
역산란 문제를 얼마나 잘 푸는가는 coupled 모드 미분 방정식을 얼마나 잘 푸는가와 직결된다. 이 방정식은 closed form solution이 존재하지 않기 때문에, 반드시 수치적으로 discretization 방식으로만 풀 수 있다. Coupled 모드 미분 방정식을 discretization 하면, 널리 알려진 슈어 알고리즘을 얻을 수 있다. 하지만, 슈어 알고리즘을 이용하여 비 균등 매질의 coupling 계수를 구하게 되면, 정확한 값을 얻어내기가 어렵다. 이는 슈어 알고리즘이 간단한 방법인 만큼 많은 discretization 에러를 가지고 있기 때문이다. 이러한 문제를 해결하는 방식으로 discretization 길이를 매우 작게 줄이는 방법이 있지만, 이는 역으로 복잡도를 증가 시키게 된다. 슈어 알고리즘을 수치적으로 미분방정식을 푸는 하나의 방식으로 해석을 하게 되면, 외삽법을 적용하여 이를 해결 할 수 있다. 이를 위해서는 에러 분석이 필수적 이며, 에러의 upper bound를 구하고 이를 이용하여 슈어 recursion의 asymptotic expansion을 구해야만 한다. 이를 통하여 외삽법을 어떻게 적용할 것인지를 결정한다. 또한, 외삽법을 적용하기 위해서는 multi-step coupling 계수를 구해야 한다. 이 경우 step 사이즈를 늘려 갈수록 슈어 알고리즘은 비 안정화 되어 발산할 가능성이 높아진다. 발산을 하게 되면 외삽법을 더 이상 적용할 수 없게 된다. 따라서 안정화된 multi-step coupling 계수를 예측하는 알고리즘이 제안되었고, 이를 이용하여 extrapolation을 여러 번 반복하게 되면 정확한 값으로 수렴하게 된다.
이는 시뮬레이션 결과를 통하여 볼 수 있듯이, 일반적인 슈어 알고리즘 보다 정확하게 coupling 계수를 찾아 낼 수 있다..
