The convolution of the tip and the motion of the cantilever in the scanning probe microscope, especially atomic force microscope of tapping mode, are surveyed. The tip convolution is described in terms of the dilation, which is one subject of mathematical morphology. The dilation is to find the maximum of possible values and we provide the simulation program. The motion of the tip interacting with a surface takes into account the nonlinear harmonic oscillation, the attractive van der Waals force and the repulsive indentation. It includes several parameters sensitive to the tip-surface interactions. Hence we provide the graphical user interface to analyze and visualize the motion of the tip. To solve the governing equation numerically and approximate its solution analytically, we use the 4th-order Runge-Kutta method and fast Fourier transform method, respectively. This work will be the basis of further studies, which cover the transverse motion considering the resonance shift, its additional artifacts, and other applications such as carbon nanotube probing.
AFM(Atomic Force Microscope)은 탐침과 표면 사이에 작용하는 힘을 이용하여 물질의 표면 구조를 원자 단위까지 분석해 내는 측정 기구이다. 하지만 AFM이 제공하는 결과는 재료의 특성이나 탐침의 모양, 탐침과 표면 사이에 작용하는 여러가지 효과들에 의하여 많은 문제점들을 내포하고 있다. 본 연구에서는 이런 문제점들을 해결하고자 탐침의 모양에 의한 이미지 왜곡 현상과 진동하는 탐침의 움직임에 대하여 공부한다. 그리고 그것을 모사할 수 있는 수학적 기법들에 대하여 알아본다.
탐침 모양에 의한 이미지 왜곡 현상은 수학적 형상학의 확대(dilation)로 이해할 수 있다. 이것은 어떤 영역에서 최대값을 구하는 식으로 표현되며 컴퓨터 언어로 구현하기에 편리하다. 여기에서는 J. S. Villarrubia의 97년도 논문에 제공된 알고리듬을 주로 사용하였다. 진동하는 탐침의 움직임은 감쇄가 있는 조화 진동으로 이해할 수 있다. 이 조화 진동을 기술하는 식에는 탐침과 표면 사이에 작용하는 힘이 고려되며 이것은 거리에 따라 인력과 척력으로 나누어 생각할 수 있다. 먼 거리의 인력은 반 데르 발스의 힘을 이용한 Lennard-Johns의 위치에너지로 계산할 수 있고 가까운 거리의 척력은 변형된 Hertz 방법으로 계산할 수 있다. 이것은 D. Sarid의 96년도 논문에 따른 것이다.
결과적으로 탐침의 움직임은 비선형 이차 상미분의 형태로 표현된다. 이것을 수치적으로 계산하기 위하여 4차의 Runge-Kutta 방법을 사용하였고, 또 이렇게 계산된 결과를 해석적으로 나타내기 위하여 푸리에 변환 방법을 이용하였다. 최종적으로 이 계산에 필요한 상수 값들을 쉽게 조정하고 결과를 출력해 볼 수 있도록 MATLAB 환경의 프로그램을 개발하였다.
