It is known that every 3-manifold admits a contact structure. Since overtwisted contact structures were completely classified by Y. Elishberg, we are left with the classification of tight contact structures on 3-manifolds. Until now, only the Brieskorn homology spheres ∑(2,3,5) and -∑(2,3,3) are known not to admit any tight contact structures. In this paper we show that there is no tight contact structure on -∑(2,3,4) using the methods developed by Ko Honda and John Etnyre.
이 논문에서는 Seifert 다양체 -∑(2,3,4) 가 타이트 컨택구조를 가지지 않음을 Honda와 Etnyre의 방법을 이용하여 보였다. 위의 Seifert 다양체는 타이트 컨택 구조가 없는 새로운 3차원 다양체로서, 그 이전에는 그러한 예로 -∑(2,3,5) 와 -∑(2,3,3) 만이 알려져 있었다. 이 논문의 연구 과정은 다음과 같다. 우선 주어진 다양체를 이미 구조가 알려져 있는 속이 찬 구체나 속이 찬 원환체 등으로 분할하여 각각의 타이트 컨택 구조의 갯수를 추산하였다. 또한 컨택 기하학의 여러 도구들을 써서 overtwisted 원판의 존재를 유도하여 가능한 타이트 컨택 구조의 수를 줄임으로써 -∑(2,3,4) 의 경우 타이트 컨택 구조가 존재할 수 없음을 보였다.
