This thesis focuses on numerical methods of computing derivative prices. The approximation methods can be divided into two categories. One is based on the analytic approximation and the other is based on the discretization of variables. First, we study analytic approximations to the prices of American style options. For standard American options, we develop new upper and lower bounds on option prices that improve the bounds by Broadie and Detemple (1996). The main idea is the consideration of doubly capped call options that have two cap prices. We present a new option price approximation based on the two upper bounds. On average, our upper bound extrapolation (named UBE) has an average accuracy better than a 1,000 time-step binomial tree with a computation speed comparable to a 100 time-step binomial tree. We also provide a new method of approximating the optimal exercise boundaries of American options. Price approximation methods for American capped call options and American floating-strike lookback options both of which do not have integral form analytic solutions are also introduced.
Second, we propose lattice methods for path-dependent options, reset options and Asian options. A reset option is a path-dependent contingent claim whose strike price can be adjusted in favor of its holders at the predetermined reset dates. A standard reset option uses the underlying stock prices at reset dates as "trigger prices", and an arithmetic average reset option uses the arithmetic averages of the stock prices. Compared with standard reset options, arithmetic average reset options have the advantages of preventing price manipulations and of reducing the hedging problem caused by sudden changes in option delta near the reset dates. We develops a lattice method to numerically compute the value of arithmetic average reset options. We also consider the pricing of discretely sampled Asian and average reset options. Using a change of numeraire under the CRR (Cox, Ross, and Rubinstein (1979)) framework, path-dependent feature of a (fixed strike or floating strike) Asian option can be described with a one state variable tree. We see that our method needs less state variables than the extended tree method of Hull and White (1993) or the FSG method of Barraquand and Pudet (1996). From the behavior of the convergence to continuously sampled limit, our discrete time approximation can be also used for the continuously sampled Asian options with an extrapolation.
We also consider valuation of credit linked notes (CLN) whose payoffs depend on the entities of the first to occur of a given credit events, such as defaults. In order to value a CLN, we consider the joint survival probability of default times, each given in terms of a stochastic intensity process, under the conditional independence assumption. Under the risk-neutral valuation framework, the CLN value can be expressed expectations. With some special assumptions, we modify pricing formulas.
이 논문은 파생상품의 가격 계산을 위한 수치해법을 다룬다. 첫번째로 조기 행사 조건이 있는 미국형 타입의 옵션 가격 근사 방법을 연구한다. 미국형 옵션에 대하여는 Broadie and Detemple (1996) 에서 제시한 옵션 가격의 bound 보다 더 정확한 bound를 제시하고, 그로부터 옵션 가격을 계산하는 방법을 소개한다. 여기서 캡이 두개가 있는 이중 캡 옵션(doubly capped option)을 이용한다. 평균적으로, 우리의 UBE (Upper Bound Extrapolation) 방법은 1000-step 이항 트리 방법보다 정확하며, 계산 시간은 100-step 이항 트리 방법과 비슷하다. 적분 형태의 해석적 해가 소개되지 않은 미국형 이색 옵션으로, 미국형 캡 옵션과 미국형 lookback 옵션의 가격을 근사 하는 방법도 소개된다.
둘째로, 행사가격 조정 옵션과 아시안 옵션 등 가격 경로에 따라 가치가 변하는 옵션을 소개하고 그 계산을 위한 격자 방법(lattice method)을 제시한다. 전환가 조정 옵션은 행사가격이 옵션 보유자에게 유리하게 조정되는 옵션이다. 보통 표준 행사가 조정 옵션은 특정 시점의 기초 자산 가격에 의해 행사가격이 조정되는데, 산술평균 행사가 조정 옵션은 기초 자산 가격의 산술 평균으로 행사가격이 조정된다. 표준 행사가 조정 옵션에 비해 산술평균 행사가 조정 옵션은 장점이 있는데, 특정 시점의 가격 조작에 의한 옵션 보유자의 손해를 막을 수 있고, 헤지 비율이 급격히 변하지 않으므로 발행자 입장에서 위험 관리를 용이하게 할 수 있다. 또한 이 논문에서 이산적으로 가격을 관찰하는 아시안 옵션의 가격 계산 방법을 제시한다. Hull and White (1993) 의 확장트리(extended tree) 방법이나, Barraquand and Pudet (1996) 의 FSG(Forward Shooting Grid) 방법에서는 추가로 상태변수를 필요로 하므로 3차 승수의 계산 복잡성을 갖는다. numeraire 변환을 이용하면, 추가로 변수를 고려할 필요가 없어지고, 2차 승수의 계산으로 옵션 가격을 계산할 수 있다. 또한 수렴 형태를 보면 연속 평균을 이용하는 옵션의 가격도 extrapolation을 이용하면, 쉽게 근사된다.
또한 신용 위험이 관련된 파생 상품의 가격 결정에 대해서도 다룬다. CLN (Credit-Linked Note) 는 그런 것들 중 하나로, 구성 reference 채권 중에서 부도가 나는 것이 발생하면 payoff 가 변하는 상품이다. 이것의 가격을 결정하기 위해서 conditional independence 가정을 하고, 부도 시간에 대한 다중 확률 모형을 고려한다. 위험 중립 가격 결정 방법 안에서 CLN 가격은 기대값으로 표현된다. 그리고 특별한 가정을 추가해서 구체적인 가격 계산 방법을 고려한다.
