A topology optimization approach considering the static and dynamic behaviors of rubber is proposed for the shape design of rubber in the vibration isolators. Many vibration isolators are made of rubber and they are operating under small oscillatory load due to structural vibration superimposed on the large static deformation caused by the self-weight of target structure. For the efficient design of vibration isolators, the precise analysis of the static and dynamic behaviors of isolation rubber is essentially necessary. Firstly the large static deformations of rubber with the incompressibility under very slow loads can be generally treated with the well-known hyperelastic constitutive equations and the mixed finite element methods with Lagrangian formulations for nonlinear analysis. The dynamic behaviors of the rubber in the vibration isolators under very fast and small oscillatory loads can be analyzed by the steady state viscoelastic constitutive model that is suggested by Kim and Youn and can precisely describe the influence of the large static deformations on the time effects of viscoelastic relaxation function.
The topology optimization approach is selected as the design optimization technique in order to obtain the adequate shapes of isolation rubber. The main object of the vibration isolators is the reduction of the vibrations and forces transmitted from target structures. Also the vibration isolators must have large enough static stiffness in order to stably support the target structure. The topology optimization approach considering both the high structural stability and low vibration transmissibility of the isolators is proposed. The objective functions and design constraints are formulated with the performance measures of both the static and dynamic mean compliance to represent the performance of the structures. The continuum-based design sensitivity analysis methods are formulated and actually applied to determine the effective directions of design changes to improve the system performance. The proposed sensitivity analysis methods are verified by the comparison with the sensitivity analysis results of example problem using the finite difference method. The sequentially linear programming widely used in the structural design is selected as an optimization algorithm. The penalty functions are added to the objective functions in order to remove the intermediate densities and the continuations of design constraints are applied in order to avoid the local optimal solutions.
The proposed topology optimization approach is applied to the design of the rubber shape in the example vibration isolators. Two kinds of design optimizations are performed to maximize the static stiffness and also minimize the transmissibility with a static compliance constraint. The material boundary extraction from the density distributions is carried out and then the analysis results of the extracted models are compared with the results in the topology optimization process. Since the results of both analysis models are very similar, the modeling techniques and the analysis methods in the topology optimization can be verified. In the simultaneous design optimization for the transmissibility and structural stability, the density distribution results with the various static constraints are obtained. The optimizations for the various vibrating frequencies and the multiple frequencies are carried out. Both the three-dimensional and transversely uniform distributions of the design density are considered. From the comparison of results, three-dimensional distribution has more complex shape, however, the both designs have the very similar performance. We can conclude that the transversely uniform design is the effective method for the sake of the manufacturability of isolation rubber.
Rubber shows the large variance in the material properties compared with other kinds of materials although the rubber products are made with same recipe and have the same shape. Considering such variances, the statistical treatment of design requirements of isolation rubber is essentially necessary. The reliability-based design optimization (RBDO) methods are applied to the shape design of isolation rubber in addition to the traditional deterministic optimization. In RBDO approach, the probabilistic constraint for the static mean compliance is formulated with performance measurement approach (PMA) considering the variances of the mechanical properties of rubber. The corresponding probability and design sensitivity analyses of the probabilistic constraint are performed using the advanced first-order second moment (AFOSM) method. The proposed reliability-based topology optimization method is applied for the isolation rubber design. The design result shows the larger reliability against the variance compared with the deterministic design results.
본 연구에서는 고무의 정적 및 동적 거동 특성을 고려하는 위상 최적설계 방법을 이용해서 방진 요소에 사용되는 고무의 형상을 최적화하기 위한 연구를 수행하였다. 방진 요소에 사용되는 고무는 지지하고자 하는 대상물의 자중이나 이동에 의한 관성력에 의해서 정적으로 변형이 큰 상태에서 구조물의 진동에 의한 반복적인 미소 동적 하중을 추가로 받고 있다. 따라서 방진 고무의 효과적인 설계를 위해서는 이러한 하중 조건 하에서 방진 고무의 정적 및 동적 거동을 정확하게 해석하는 것이 중요하다. 비압축성과 대변형성을 가지는 고무의 정적 거동은 초탄성 이론과 갱신 라그랑즈 방법(updated Legrangian method)을 이용하는 혼합 유한 요소법으로 해석하였다. 또한 미소 동적 하중 하에서 고무의 정상 상태(steady state)의 동적 거동은 Kim과 Youn이 제안한 정적 대변형이 점탄성 완화 함수(relaxation function) 의 시간 효과에 미치는 영향을 정확하게 기술하는 정상상태 점탄성 구성방정식을 이용하여 해석하였다.
주어진 목적과 조건에 적합하도록 방진 고무의 형상을 최적화하는 방법으로는 위상 변화에 대한 제약이 적은 위상 최적설계 방법을 채택하였고 최적설계 과정에서 설계 개선의 방향을 결정하는 설계 민감도는 연속체 기반의 설계 민감도 해석(continuum based design sensitivity analyisis) 방법을 이용하여 계산하였다. 방진 대상을 안정적으로 지지하는 동시에 구조물의 진동 전달을 효과적으로 저감해야 하는 방진 요소의 특성을 고려하여 방진 고무의 구조적 안정성과 진동 저감 성능을 동시에 고려하는 위상 최적설계 방법을 제안하였다. 두 가지 특성을 동시에 고려하기 위해서 방진 고무가 정해진 정강성을 확보하면서 진동 저감 특성을 최대화 하는 방법을 이용하였다. 최적설계의 목적함수와 제한조건은 구조물의 전체적인 특성을 나타내는 정적 평균 컴플라이언스(static mean compliance)와 동적 평균 컴플라이언스(dynamic mean compliance)를 성능 척도로 이용하여 수식화 하였다. 두 가지 성능 척도에 대해서 각각 연속체 기반 설계 민감도 해석 방법을 제안하였으며 제안한 설계 민감도 해석 방법과 유한 차분법(finite diffenence method)을 이용한 실제 예제의 설계 민감도를 해석한 결과를 비교하여 설계 민감도 해석의 타당성을 확인하였다. 위상 최적화 방법으로는 밀도 분배 방법(denisty distribution approach)을 이용하였고 최적화 알고리즘으로는 순차적 선형 계획법(Sequentially linear programming, SLP)을 적용하였다. 또한 위상 최적설계 과정에서 중간 밀도를 효과적으로 제거하기 위해서 목적함수에 벌칙 함수(penalty function)를 도입하였고 국부 최적 해를 피하기 위하여 제한조건의 연속화 기법(continuation method)을 적용하였다.
본 연구에서 제안한 방진 고무의 위상 최적설계 기법을 실제 차량 엔진용 마운트 등의 여러 가지 형태의 방진 요소에 적용하여 주어진 목적에 맞는 방진 고무의 최적 형상을 도출하였다. 방진 고무의 정강성을 최대화 하는 정강성 최적설계와 방진 고무가 사전에 규정한 정강성을 가지면서 방진 특성은 최대가 되도록 하는 다중 최적설계를 수행하였다. 위상 최적설계의 결과로 얻어진 밀도 분포로부터 재료의 경계를 추출하여 해석해보았고 추출된 모델의 해석결과와 위상 최적설계 과정에서 밀도 분포를 이용하는 해석 결과가 거의 같은 것을 확인하였다. 이러한 사실로부터 본 연구의 위상 최적설계 과정에서 이용한 방진 고무의 거동 해석 기법과 유한 요소 모델링은 타당한 것을 확인할 수 있었다. 다중 최적설계에서 적용되는 정적 평균 굴성에 대한 제한 조건을 변화시키면서 위상 최적화를 수행하였고 그 경향을 확인하였다. 또한 여러 가진 주파수에 대한 최적화 및 여러 주파수를 동시에 고려하는 최적화를 수행하였고 최적설계 결과는 가진 주파수에 크게 영향 받지 않음을 확인하였다. 본 연구에서 설계 변수로 이용된 밀도 분포가 3차원으로 존재하는 경우와 두께 방향으로 일정한(transversely uniform) 밀도 분포를 가지는 경우를 서로 비교하였으며 두 가지 사이에 큰 차이가 없고 제작의 용이성을 고려할 때 두께 방향으로 일정한 밀도 분포를 가지도록 설계하는 것이 유리함을 알 수 있었다.
고무는 물성이 확률 분포를 가지는 불확실한 값일 경우에 대해서 관련된 제한 조건을 확률적으로 처리하기 위한 신뢰도 기반 최적 설계(reliablity-based design optimization, RBDO) 방법을 유도하였다. 성능 척도 방법(PMA)으로 확률 제한조건을 수식화하고 AFOSM(advanced first-order second moment)방법을 이용하여 확률 제한조건과 제한조건의 설계 민감도를 해석하였다. 본 연구에서 제안된 신뢰도 기반 위상 최적화 방법을 실제 방진 고무의 위상최적 설계에 적용하였고 위상 최적설계 결과로부터 신뢰도 기반 방법의 성능을 확인할 수 있었다.
