The least-squares meshfree methods for the linear elasticity, rigid-plasticity and elasto-plasticity are presented. The methods are based on the proposed first-order least-squares formulations and the moving least-squares approximation. The main benefit of the proposed methods is the full achievement of meshfree strategy for the numerical analysis of the problems in solid mechanics. To be a truly meshfree method, the approximation, the domain integration of variational formulation, the treatment of incompressible locking and the remodeling could be performed without any structure of mesh. The proposed methods satisfy these demands.
Despite the recent development of the meshfree approximations such as the moving least-squares or reproducing kernel approximations, their applications to the Galerkin formulation require accurate integration for which element-like cells are often employed. Recently, it has been shown that the least-squares formulation is robust to integration errors. Thus a simple or cell-free integration scheme can be effectively used. For this purpose, the support integration scheme, where the integration points are distributed within nodal supports, is presented in the present work.
First, the least-squares meshfree method is applied to the linear elasticity. For this, two first-order least-squares formulations, the conventional and compatibility-imposed formulations, are presented. Both formulations achieve the solution accuracy comparable to that of Galerkin formulation. The compatibility-imposed formulation shows the optimal rate of convergence for both primal and dual variables. It is also shown that the least-squares meshfree methods work well with cell-free integration schemes.
Another merit of the least-squares method is its uniform convergence behavior in the incompressible condition with equal-order shape functions for both primal and dual variables. The mixed Galerkin method requires lower-order approximation for dual variables, and however its meshfree implementation has not been well developed. Such advantage of least-squares method is attractive in developing a meshfree method for the analysis of plastic deformations.
For plasticity, the least-squares formulations for the rigid-plasticity and elasto-plasticity are presented. The rigid-plastic formulation is based on $J_2$-flow rule and infinitesimal theory. For the elasto-plasticity, the formulation based on the classical plasticity under the assumption of infinitesimal strains is first developed and then extended to an incrementally objective formulation to cope with the finite deformations. In the formulation, the equilibrium equation and flow rule are enforced in least-squares sense. The closest point projection method is inherently involved in the formulation, and thus the radial-return mapping algorithm is not performed explicitly. In imposing the boundary conditions and frictional contact conditions, the penalty method is used and the details of its implementation are also presented. In the analyses of metal forming processes, the necessity of remodeling often occurs due to the severe local deformation in the region near the tool-workpiece interface. For this, the reshaping of nodal supports is introduced. The proposed methods are applied to some metal forming processes, and the numerical results show the robustness to integration errors and the validity of the methods.
1990년대에 이르러 본격적으로 등장하기 시작한 무요소법은 기존의 유한요소법에서의 격자구성의 어려움을 해결할 수 있는 효과적인 방법으로 주목을 받고 있다. 무요소법에서는 형상 함수의 구성에 격자를 필요로 하지 않으므로 특히 구조물의 대변형 해석, 균열 전파 해석 및 적응형 기법 등에서 큰 장점을 가진다.
현존하는 대부분의 무요소법에서는 이동 최소 제곱법을 이용하여 형상 함수를 구성하는데, 여기에는 격자가 필요하지 않다. 그러나, Galerkin 수식화 등을 이용하여 경계치 문제를 해결하고자 할 때에는 해석 영역에서의 적분을 위해 배경 격자를 사용하는 것이 일반적이다. Galerkin 수식화는 적분 항등식이 도입되므로, 정확한 수치 적분을 통해 이를 만족시키는 것이 해의 정확성을 위해 요구된다. 이는 배경 격자의 구성에 상당한 제약을 주게 되어 무요소법의 효용성을 퇴색시키게 된다. 따라서 배경 격자의 사용을 피하기 위한 여러 연구가 진행되어 왔으며, 현재도 이와 관련한 연구가 여러 연구자들에 의해 진행중이다.
한편, 최소 제곱 수식화는 적분 항등식을 이용하지 않아 적분 오차에 강건한 특성을 가진다. 이런 특성에 착안해 최근에 제안된 최소 제곱 무요소법은 배경 격자 구성에서의 제약을 완화시킬 수 있었으며, 본 연구를 통해 외연적인 적분 격자의 사용 없이도 효용성을 가짐을 입증할 수 있었다. 그 동안 최소 제곱 수식화는 특히 유체 문제나 전자기장 문제 같은 비자기수반 문제의 유한요소해석에 큰 강점을 지녀왔다. 그러나 구조 변형 문제의 경우 Galerkin 유한요소법의 확고한 자리 매김으로 인해, 이 분야에서의 최소 제곱 수식화의 적용은 미약한 실정이다.
본 논문에서는 선형 탄성, 강소성, 탄소성 변형 해석을 위한 최소 제곱 무요소법을 제안하였다. 제안된 방법들의 주요 장점은 구조 변형 문제의 해석을 위한 진정한 무요소법이라는 점에 있다. 소성 가공과 같이 대변형이 발생하는 문제의 무요소 해석 기법이 되기 위해서는, 적분 과정 뿐만 아니라 비압축 조건의 처리 및 해석 모델의 재구성에 있어서도 격자의 사용으로부터 자유로울 수 있어야 한다. 본 방법들은 이런 요구 조건들을 모두 만족시키는 방법으로, 본 연구를 통해 선형 탄성, 강소성 및 탄소성 거동의 해석에 성공적으로 적용되었다.
먼저 선형 탄성 변형 해석을 위한 최소 제곱 무요소법을 제안하였다. 이를 위해 일반 수식화와 적합성 조건을 도입한 수식화를 제시하였다. 제안된 방법들을 통해서 Galerkin 수식화에 기초한 방법과 비슷한 해의 정확성을 얻을 수 있었으며, 적합성 조건을 도입한 최소 제곱 무요소법의 경우 1차 미분 변수들인 응력이나 변형율에 대해서도 최적의 수렴성을 보임을 확인할 수 있었다. 본 방법들 또한 적분의 오차에 강건하며, 따라서 배경 격자의 사용 없이도 잘 작동함을 보였다.
제안된 최소 제곱 무요소법은 재료의 비압축성 조건하에서도 해의 정확성이나 수렴성이 둔화되지 않는다는 특성을 가진다. 이런 특성은 무요소 기법의 구현에 있어서 큰 장점을 가지게 된다. Galerkin 방법에서는 비압축성 조건의 처리를 위해 선택 감차 적분이나 혼합 수식화를 사용하는 것이 일반적이다. 그러나 이런 기법들을 무요소법에 적용시키려는 시도들은 부가적인 격자의 사용에 의해 이루어져 왔다. 최소 제곱 무요소법은 이런 제약을 극복할 수 있는 방법이며, 소성 변형이 주가 되는 금속 가공 공정의 무요소 해석 기법으로 상당한 매력을 가지게 된다.
소성 변형 해석에의 적용을 위해, 강소성과 탄소성 변형을 해석할 수 있는 최소 제곱 무요소법을 제안하였다. 강소성 변형의 경우, 제안된 수식화는 $J_2$ -유동 법칙과 미소 변형 이론에 기초한다. 탄소성 변형의 경우, 먼저 미소 변형 이론에 기반한 수식화를 제안하고, 이를 대변형에 적용하기 위해 증분적 객관성을 가지는 수식화로 확장하였다. 제안된 방법에서는 평형 방정식과 유동 법칙은 최소 제곱 개념으로 만족시키며, 경화 법칙 및 항복 조건 등은 각 적분점에서 정확하게 만족시키게 된다. 여기서는 구성 방정식의 적분을 위한 근거리 점 투영법이 내부적으로 포함되어 있어 반지름 회귀법의 실제적인 수행은 필요하지 않다. 또한 경계 조건 및 마찰력을 고려한 접촉 조건의 처리를 위해서는, 벌칙 방법에 기초하여 최소 제곱 무요소법에 적합한 기법을 제시하였다.
금속 가공 공정의 해석과 같은 대변형 문제의 경우, 초기 해석 모델의 일그러짐으로 인해 중간에 해석 모델의 재구성을 필요로 한다. 이를 위해 본 논문에서는 절점의 영향 영역을 다시 구성하는 개념을 도입하였다. 이는 유한요소법에서 격자를 재구성하는 것과 비슷한 개념이지만, 구현의 용이함이 무요소법의 장점이라 할 수 있다. 제안된 방법의 효율성은 최소 제곱 무요소법이 적분 오차에 둔감하다는 특성에 기인한다. 제안된 방법들을 통해 금속 가공 공정들의 진정한 무요소 해석이 성공적으로 수행되었으며, 이는 제안된 방법의 타당성 및 효율성을 입증한다.
