In this dissertation, we consider FETI methods which are known as the most efficient domain decomposition method especially for solving large scale problems. In FETI methods, Lagrange multipliers are introduced to enforce the continuity of solutions across subdomain interfaces. This gives a mixed problem with the continuity condition as constraints. After eliminating unknowns other than the Lagrange multipliers, the resulting linear system is solved using the preconditioned conjugate gradient method. There are three variants of FETI methods, FETI, two-level FETI and dual-primal FETI(FETI-DP) method. Until now, FETI methods have been developed for the problems discretized with conforming finite elements. Among them, we extend FETI-DP methods to the problems with nonconforming discretizations, that arise from nonmatching triangulations across subdomain interfaces. The nonmatching triangulations are important for problems with corner singularities, contact problems as well as multi-physics problems. Moreover, the generation of meshes can be done independently in each subdomain. To resolve the nonconformity of the approximation, we consider mortar methods, which gives the same order of accuracy as conforming finite elements. In the mortar methods, the Lagrange multiplier space is introduced to enforce the continuity of solutions across the subdomain interfaces. The saddle point formulation of mortar methods gives a similar linear system to the mixed formulation of the FETI methods. The linear system is ill-conditioned. Moreover, it is difficult to find a good preconditioner for this system. We apply the FETI-DP method to solving this linear system efficiently and to finding a good preconditioner easily.
This dissertation concerns elliptic problems both in 2D and 3D, and Stokes problem in 2D. Especially, redundant continuity constraints are introduced for 3D elliptic problems and Stokes problem. The Lagrange multipliers to the redundant constraints are treated as the primal variables in the FETI-DP formulation. This redundant constraints accelerate the convergence of FETI-DP methods. We propose Neumann-Dirichlet preconditioners for the FETI-DP formulations of those problems considered in this dissertation. The Neumann-Dirichlet preconditioner follows from a dual norm on the Lagrange multiplier space. To define the dual norm, we consider a duality pairing between the Lagrange multipliers and finite elements on nonmortar sides. A norm for the finite elements on nonmortar sides are defined by using the discrete harmonic extension or the Stokes extension. We show that the preconditioner gives the condition number bound $Cmax_i=1,…,N{(1+log(H_i/h_i))^2}$, where C is a constant independent of meshes and the number of subdomains. Here, $H_i$ and $h_i$ are the subdomain size and mesh size associated with $Ω_i$, and N is the number of subdomains. For the elliptic problems with discontinuous coefficients, we can also show that the constant C is not depending on the coefficients. In addition, numerical results are provided.
FETI(-DP) 영역 분할법은 순응 유한요소로 이산화된 미분 방정식을 풀기 위하여 개발되었으며, 타원형 문제들을 병렬 계산으로 푸는데 있어서 가장 효율적이라고 알려져 있다. 이 방법의 특징은 기존의 영역 분할법에서와 같이 영역의 경계에서 해의 연속성을 직접적으로 구현하지 않고 라그랑지 승수를 도입하여 간접적으로 맞추어 준다는 것에 있다. 이러한 라그랑지 승수를 도입함으로서 FETI 방법에서는 mixed problem으로부터 도출된 선형방정식을 얻게되며 이 선형방정식에서 라그랑지 승수 이외의 다른 미지수들을 소거하여 라그랑지 승수와 관련된 선형방정식을 얻는다. 이 선형방정식은 일반적으로 ill-conditioned 방정식이므로, 수치적으로 그 해를 효율적으로 찾기 위해서는 적절한 preconditioner가 반드시 필요하다. 다른 영역 분할법에 의한 선형방정식에 비해, 이 선형방정식은 수학적으로 분석하기가 쉽다. 이러한 수학적 분석으로부터 preconditiner를 비교적 쉽게 도출해 낼 수가 있다. 또한, 이 preconditioner는 기존의 영역분할법에서 연구되어진 것과 달리 coarse problem을 가지고 있지 않으므로, 완전히 병렬화할 수 있으며 실제로 대용량 문제를 푸는데 있어서 그 효율성이 입증 되었다.
최근에 FETI(-DP) 방법은 비순응 유한요소로 이산화된 문제를 푸는데 적용되었다. 특히, 각각의 영역에서는 순응 유한요소로 구성이 되어 있지만 인접하는 영역들간의 유한요소들이 독립적으로 주어져서 생겨난 비순응 유한요소에 대해 연구가 이루어져 왔다. 이와 같은 비순응 요소는 특이점이 있는 미분방정식을 이산화 하는 경우, 3차원 영역에서와 같이 유한요소를 만드는데 많은 시간이 소요되는 경우, 접합문제, multi-physics 문제 등을 다루는데 있어서 효과적이기 때문에 많이 연구되어 왔다. 이러한 비순응 유한요소를 이산화 하는 과정에서 영역의 경계에서 유한요소들에 적절한 조건을 주는데, 이것을 모르타르 일치 조건이라고 하며 이와 같은 이산화 방법을 모르타르 방법이라고 한다. 이 방법은 동일한 차수의 유한요소를 사용한 경우 그 근사 해의 정확도가 순응 유한요소와 동일하다. 모르타르 일치조건이 라그랑지 승수를 통하여 구현되면 이러한 모르타르 방법으로부터 mixed problem이 도출되며 이 문제는 FETI 방법들에서 도출되는 mixed problem과 동일하다.
지금까지 모르타르 방법으로부터 도출된 mixed problem에 관한 preconditioner의 연구는 수학적 해석의 어려움으로 인해 여러 가지 한계점이 있었다. FETI(-DP) 방법을 이용하여 이러한 mixed problem을 푸는 것은 preconditioner를 구성하는 것이 용이하므로 이에 관한 수치적인 계산은 Stefanica [48], Rapetti[42] 등에 의해 연구되었으며, 최근에 Widlund와 Dryja [21,22]에 의해 여러 가지 형태의 preconditioner들에 대한 수학적인 해석이 이루어졌다. 그러나 그들의 수학적인 해석은 유한요소에 제약이 있고 일반적인 타원형 문제에 적용할 수 없다는 한계를 가지고 있었다. 이 논문에서는 이와 같은 문제를 다른 형태의 preconditioner를 도입하여 해결하였으며, 3차원 타원문제 그리고, 스톡스 문제에도 그 결과를 확장하였다. 특히, 계수가 불연속적인 타원문제의 경우, 기존에 개발된 다른 preconditioner들 보다 효율적이라는 것을 수치적 계산으로 입증하였다.
