This thesis is devoted to a study of Fourier type and cotype of linear maps between Banach spaces or between operator spaces with respect to certain unimodular groups.
First, we define Fourier type and cotype of linear maps with respect to certain unimodular groups by measuring how well those maps behave in accordance with vector-valued Hausdorff-Young inequalities on the groups. The class of groups we are using here includes all locally compact abelian groups, compact groups and connected Lie groups. We develop a basic theory of Fourier type and cotype analogous to the Fourier type theory of Banach spaces with respect to locally compact abelian groups including the transference principle to open subgroups.
Secondly, we restrict our attention to the case of abelian groups. We check that our definitions and previously existing definitions are equivalent and that many results in the Banach space setting still hold for the operator space setting such as equivalence of Fourier types with respect to classical groups. Furthermore, we prove another transference principle and duality theorem for both cases.
Finally, we consider the Heisenberg group as an example of non-abelian and non-compact groups and give an equivalent definition of Fourier type and cotype using representation theory. We prove that Fourier type and cotype with respect to the Heisenberg group implies Fourier type with respect to classical abelian groups.
이 논문은 바나흐 공간이나 작용소 공간사이의 선형대응들의 특정한 유니모듈라군에 의한 푸리에 타입과 코타입에 대한 연구이다.
우선 벡터값을 갖는 하우스도르프-영 부등식과 얼마나 잘 어울리는가를 기준으로 선형대응들의 특정한 유니모듈라군에 의한 푸리에 타입과 코타입을 정의한다. 여기서 사용한 군들의 모임에는 국소 컴팩트 가환군과 컴팩트군, 연결된 리군등이 포함된다. 그리고 가환군에 대한 바나흐공간의 푸리에 타입이론에서와 같은 기본적인 이론들을 발전시킨다. 예를 들어 열린 부분군으로의 전달 원리 같은 것이 포함된다.
두번째로는 가환군인 경우로 군의 종류를 제한한다. 여기서는 이전에 있던 정의와 이 논문에서 제안한 정의가 동일함을 확인한다. 그리고 고전적인 군들에 의한 푸리에 타입의 동등성 같은 바나흐 공간환경에서의 많은 결과들이 작용소 공간환경에서도 성립합을 확인 할수 있다. 또한 더 세밀한 전달원리와 쌍대정리를 두가지환경에서 모두 증명한다.
마지막으로 비가환, 비컴팩트 군의 예로서 하이젠버그군을 생각하여 표현이론을 이용한 또다른 동등한 푸리에 타입과 코타입의 정의를 제안한다. 그리고 하이젠버그군에 의한 푸리에 타입 코타입 성질은 고전적인 가환군에 의한 푸리에 타입성질을 보장한다는 사실을 증명한다.
