In this thesis, we give a combinatorial proof for the enumeration of the set ${\mathcal F}_{λ}$ of the minimal transitive factorizations of permutations that have cycle type λ. These factorizations are related to the branched covers of the sphere, which was originally suggested by Hurwitz.
In Chapter 2, we introduce some related combinatorial objects - circle chord diagrams, noncrossing partitions, labelled trees, and parking functions. In Chapter 3, we prove that $|{\mathcal F}_{(n)}|=n^{n-2}$, and present an algorithm which generates the elements of ${\mathcal F}_{(n)}$ from parking functions. In Chapter 4, we enumerate some labelled trees combinatorially and count the number of certain parking functions by relating them to labelled trees. In Chapter 5, we give a combinatorial proof of $|{\mathcal F}_{(1,n-1)}|=(n-1)^{n}$ and obtain a refined enumeration of ${\mathcal F}_{(1,n-1)}$ by interpreting them as prime parking functions. In Chapter 6, we construct combinatorial objects whose cardinality is $4(n-1)(n-2)^{n-1}$, and find a bijection from ${\mathcal F}_{(2,n-2)}$ to them.
본 논문에서는 순환형태가 λ인 순열의 호환에 의한 최소추이분해 ${\mathcal F}_{λ}$의 조합론적인 셈을 구하였다. 이러한 분해는 구면의 분기된 덮개와 관련이 있는데, 후르비츠에 의해 처음 제기되었다.
2장에서는 원현 도형, 교차하지 않는 집합분할, 꼬리표 있는 수형도, 주차 함수와 같은 ${\mathcal F}_{λ}$와 밀접한 관련이 있는 조합론적 대상들을 소개하였다. 3장에서는 $|{\mathcal F}_{(n)}|=n^{n-2}$ 라는 기존의 결과를 재증명하였고, 주차 함수로부터 ${\mathcal F}_{(n)}$의 원소를 생성하는 알고리듬을 제시하였다. 4장에서는 조합론적인 방법으로 몇 가지 수형도들에 대한 셈을 하였고, 이것들과 주차 함수와의 연관성을 이용하여 특정한 조건을 만족하는 주차 함수의 개수를 구하였다. 5장에서는 식 $|{\mathcal F}_{(1,n-1)}|=(n-1)^{n}$을 조합론적으로 증명하였고, 소 주차 함수로의 해석을 통해 ${\mathcal F}_{(1,n-1)}$의 세분화된 셈을 하였다. 6장에서는 ${\mathcal F}_{(2,n-2)}$와 개수가 같은 조합론적인 대상을 만들었고, 두 대상 간의 일대일대응을 구하였다.
