We study some geometric problems arising in computer graphics and numerical analysis.
In the first part of this thesis, we consider optimal surface triangulations and suggest a new optimal criterion for surface triangulation. The optimal triangulation will be a critical point of an energy function defined on triangulations. The energy function gives the statistical variance of edge length for a triangulation. Since the function value of a triangulation is the minimal spring energy when each edge of a triangulation is made of the same kind of spring, the optimal triangulation is a solution of a stability problem. We study optimal triangulations for surfaces in $R^3$ and its applications to numerical analysis and computer graphics. For the unit sphere, regular polyhedra with triangular faces are obtained as optimal ones, especially the soccer ball structure is studied. The optimal triangulation can be curvature adapted triangulation for arbitrary surfaces. So, our optimal triangulations are useful for computer graphics and computer aided geometric design. In addition, we generate a planar optimal grid with respect to a given Riemannian metric, and show that the optimal grid is effective when solving elliptic problems with finite element methods.
In the second part, surface extension problem is considered. We suggest a new method to extend a given surface with $C^2$ continuity along the boundary. The extended part is generated by special quadratic or cubic splines satisfying the boundary conditions up to first order. Furthermore, it is proved that the normal curvature of the extended surface can be controlled by boundary conditions and a control parameter. As a practical application, we extend a surface patch representing a correction lens inside the Color Display Tube of a monitor set so that the extended surface can be mounted in a safe and easy way.
본 논문에서는 컴퓨터 그래픽스와 수치해석학에서 발생하는 기하학적 문제들을 연구하고자 한다.
크게 두부분으로 구성되어있으며 처음 부분에서는 곡면의 최적 삼각화를 생각하고 이에 대한 새로운 기준을 제시한다. 스프링에너지로 삼각화의 에너지를 정의하여 이 에너지함수의 극값으로 최적삼각화를 생각하고 이를 찾는 수치적인 방법을 제시한다. 먼저 구에서 여러가지의 토폴로지를 갖는 구조에 대해 최적삼각화를 찾아 정다면체를 포함한 여러가지 최적삼각화를 얻고 특히 축구공구조에 대하여 최적삼각화를 구하고 이것이 구와 좀더 가까운 삼각화임을 보인다. 좀더 일반적인 곡면에 대해 우리의 최적삼각화가 곡률을 고려한 효과적인 삼각화가 될 수 있음을 보이고 구체적인 예를 제시한다. 또한, 최적삼각화의 수치해석에의 응용으로 유한요소법에서 컨디션 수를 줄이는 메쉬를 제시하고 이를 구현한다.
두번째 부분에서는 곡면의 확장문제를 연구한다. 어떤 주어진 곡면에 대해 그의 한 경계를 따라 $C^2$ 연속으로 만나고 다른 끝에서는 임의의 경계 조건을 만족하며 곡률 또한 유계가 있는 곡면을 찾고자 한다. 확장되는 곡면은 이차 혹은 삼차 자유곡선을 경계의 각 점에서 만들어서 구성된다. 이때, 곡면의 곡률은 경계조건과 콘트롤파라미터에 의해 결정된다. 이것의 응용으로 브라운관의 노광렌즈의 유효면적을 확장하여 생산과정에서 실제로 필요한 곡면을 계산한다.
