Mixed methods on quadrilateral grids are important and applicable for many problems because they maintain the structure of a grid of rectangles while obtaining some of the flexibility of grids of triangles. Although there are many results on this problem, almost of them are obtained by assuming that the grid of quadrilaterals is almost parallelogram. This assumption demands that the shape of quadrilaterals becomes a parallelogram as the mesh size goes to zero. Only a few results have been given without this assumption. In this thesis, we introduce a mixed finite element of the lowest order for general quadrilateral grids, which gives an optimal order of $L^2$ convergence in both the velocity and the divergence. This element is designed so that the H(div)-projection $π_h$ satisfies div $π_h$ = $P_h$ div. A rigorous error estimate is carried out by proving a modified version of the Bramble-Hilbert lemma for a certain subspace of polynomials. Application to Brezzi-Douglas-Marini spaces is also discussed.
In Chapter 4, we suggest a domain decomposition method for the finite element approximations of elliptic problems with anisotropic coefficients in domains consisting of anisotropic shape rectangles. For this kind of problems, the theorems on the traces of functions from Sobolev spaces play an essential role in studying boundary value problems of partial differential equations. These theorems are commonly used for a priori estimates of the stability with respect to boundary conditions, and also play a crucial role in constructing and investigating effective domain decomposition methods. The trace theorem for anisotropic rectangles with anisotropic grids is the main tool to construct domain decomposition preconditioners.
일반 사각격자에서의 혼합법은 직사각격자의 구조를 가지면서 삼각격자의 유동성 또한 가지기 때문에 매우 중요한 과제이며 아울러 많은 문제에 적용될 수 있다. 사각격자에서의 문제에 대한 대부분의 연구 결과는 준 평행사변형격자라는 가정에서 이루어졌다. 이러한 가정하에서는 격자 크기가 작아짐에 따라 사각형의 모양이 평행사변형이 되며 직사각격자에서의 이론들을 적용할 수 있다. 그러나 일반 사각격자에서는 기존의 요소들로 구성된 함수 공간에서 속도와 발산 모두에 대해 최적화된 수렴 속도가 보장되지 않음이 잘 알려져 있다. 본 논문에서는 이러한 문제를 해결하기 위해 표본요소에서 정해진 기저를 이용하는 기존의 방법과는 달리 격자에 의존하는 기저로 구성된 변형된 최소 차수의 RT-혼합유한요소를 소개한다. 이 요소를 이용하여 준 평행사변형의 가정 없이 일반 사각격자에서 속도와 발산 모두 최적화된 $L^2$ 수렴 속도를 갖음을 증명하였다. 이 요소는 $L^2$-정사영과 H(div)-정사영이 서로 교환가능하도록 구성되었으며 이러한 결과들을 최소 차수의 BDM-공간에도 적용하였다. 4장에서는 비등방성 직사각형 영역에서 비등방성 확산 계수를 갖는 2차 타원 편미분방정식에 영역분할법을 적용하였다. 이러한 종류의 문제에서는 Sobolev 공간에 포함된 함수들의 자취에 대한 이론들이 편미분방정식을 풀기 위해서 매우 중요한 역할을 한다. 또한 이러한 이론들은 경계조건에 대한 안정성에 대한 선험적 측정을 하는데도 상용될 뿐만 아니라 효율적인 영역분할방법을 연구하고 구성하는데도 중요한 역할을 한다. 특히 비등방성 확산계수를 갖는 비등방성 직사각형 영역에서의 자취 이론은 영역분할법에 대한 선행 조건화행렬을 구성하는데 있어서 주요 도구이다. 이렇게 만들어진 선행조건화행렬을 이용하면 반복횟수가 격자 크기에 상관없이 일정하게 유지됨을 증명하였다.
