Most of the eigenvalue analysis methods for the undamped or proportionally damped systems use the well-known Sturm sequence property to check the missed eigenvalues when only a set of the lowest modes is to be used for large structures.
However, in the case of the non-proportionally damped systems such as the soil-structure interaction system, the structural control system and the composite structures, no counterpart of the Sturm sequence property for undamped systems has been developed yet. Hence, when some important modes are missed for those systems, it may lead to poor results in dynamic analysis.
In this study, a numerical method for calculating the number of eigenvalues in an open disk of arbitrary radius for the eigenproblem with a damping matrix is proposed by applying Gleyse’s theorem. To verify the applicability of the proposed method, two numerical examples are considered.
부분공간 반복법, Lanczos 방법과 같은 대부분의 고유치해석 방법들은 어떤 구조물의 전체 고유벡터 집합을 구하는 것이 아니라 이 집합에서 저차의 일부분만을 계산하기 때문에 고유쌍 중의 일부를 누락시킬 수 있다. 따라서, 모드중첩법을 이용하여 정확한 동적응답을 얻기 위해서는 고유치해석 수행 후에 누락된 고유치를 검사하는 과정이 반드시 수행되어야만 한다. 비감쇠 또는 비례 감쇠 시스템의 경우, 즉 감쇠를 고려하지 않은 고유치해석의 경우에는 Sturm 수열 성질을 이용하여 누락된 고유치를 검사할 수 있으며 대부분의 고유치해법들이 이 기법을 채택하고 있다. 그러나, 지반-구조물 상호작용 문제, 구조물의 진동제어 문제, 복합재료 구조물과 같은 비비례 감쇠 시스템의 경우, 즉 감쇠를 고려한 고유치해석의 경우에는 누락된 고유치를 검사하는 기법이 아직까지 확립되어 있지 않다. 본 연구에서는, Sturm 수열 성질, Gerschgorin 정리, 편각의 원리 및 Gleyse의 정리와 같은 다양한 수학 성질들을 자세히 검토한 후, 감쇠를 고려한 고유치 해석에서 누락된 고유치를 검사할 수 있는 효율적인 기법을 제안하였다. 이 기법은 Gleyse의 정리를 이용하여 Schur-Cohn행렬을 행렬분해한 후 대각행렬의 대각요소 중 양의 부호를 가지는 요소들의 개수를 조사하여 누락된 고유치를 검사할 수 있으므로 최종결과가 기존의 Sturm수열 성질과 유사하다. 제안방법의 효용성을 검증하기 위하여, 단순 스프링-질량-감쇠기 시스템과 집중 감쇠기가 부착된 평면 뼈대 구조물에 대해서 수치해석을 수행하였다.
